2006春季班 线性代数第6章向量空间 6.3内积,正交化,标准正交基 设n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(b1,h2,…,bn),则称 (a,B)=ab1+a2b2 +.+a,bn=aB 为向量a与B的内积 向量的内积有以下性质: (1)(a,B)=(,a); (2)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) (3)(ka,B)=k(x,B),其中k为实数 (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,(ax,a)=0. 当(a,日)=0时,称向量a与B正交 一组两两正交的非零向量称为正交向量组 若a1,C2,…,as是正交向量组,则a1,C2,…,a3 线性无关 设a=(a1,a2,…,an),定义向量的长度为 1 a)+…a 当a=1时,称a为单位向量 对给定的向量a,是与a同方向的单位向量 当向量空间的基是一个正交向量组时,称为正交 基.2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—5 6.3 内积，正交化，标准正交基 设n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ， ( )T b b bn , , , β = 1 2 L ，则称 α β α β T ( , ) = a1b1 + a2b2 +L+ anbn = 为向量α 与β 的内积． 向量的内积有以下性质： （１）(α, β ) = (β ,α)； （２）(α + β ,γ ) = (α,γ )+ (β ,γ )； （３）(kα, β ) = k(α, β )，其中k 为实数； （４）(α,α) ≥ 0，当且仅当α = 0时，(α,α) = 0． 当(α, β ) = 0时，称向量α 与β 正交． 一组两两正交的非零向量称为正交向量组． 若α α α s , , , 1 2 L 是正交向量组，则α α α s , , , 1 2 L 线性无关． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ，定义向量的长度为 α ＝ ( ) α,α ＝ 2 2 2 2 1 n a + a +L+ a ． 当α ＝１时，称α 为单位向量． 对给定的向量α ， α α 是与α 同方向的单位向量． 当向量空间的基是一个正交向量组时，称为正交 基．