9,半径为，质量为m的均匀圆球在半径为6的 dcosB,0=&sinB(7) 完全粗德的另一围定圆球的外表面上浓动，试建立动 ,e,=(e+b)d,a=,-(a+b)co4p, 球的运动微分方程。当动球转速超过多少时，动球可 a=0、 (8) 以在定球的最高点处稳定地转动。（出题者：程稼 约束条件： 夫，中国科技大学解题者：费书悬，清华大学) ,=:十×（一4，）▣0 ,-4=0,"a十m,=0 -Taoon, m,-g-‘+上6 《9) 将()，(9)代入(6)得到关于自转角速度， 的特性。 ⊙，0，或 的，-常数·(10) 将(7)，(8)，(9)代人(1)，(2)，(4)，(5)得： m(a+bB+'cos6in月 =F,十mgcosa sin B (11) m(a +bX-acos8 2dgsinB) 0 eF,一mgsi面a (12) 子n(+bXa明-2的） +号a- (13) 号n(+bXa+rcap) 图19 (14) 解：本题中动球受非完整约束，故不能应用拉氏 二类方程；又因要求动球在最高点处转动的稳定条件， 从上面四式中消去术，F,即得动球的运动微分方程 所以也不能用球坐标描述球心的位置，如图19所示， 式： 用卡尔丹角4，B描述动球质心C的位置；建立动坐标 7(a)(ico-2dsinB)+2 系Ox,它相对定坐标系的方位由a,P确定，其角速 -5gsina0 (15) 度为口.坐标系[C,一，】过动球质心C,且与 7(a +68+i sin Bcoep)-2a0,dco 坐标系Oy相平行，动球质心C的速度为”，动球 5gcosasinB=0 (16) 绝对角速度为。动球所受之力为m,N,F,F,。 此方程有特解a”一0，一0，代表动球在固定球的 由质心运动定理向动坐标系Oy:各轴的投影式 最高点处以，自旋的运动。为研究此运动的稳定性， 得： 将4，A看成小量，并在式(15)，(16)中略去二阶以上 m(-+De)-F+mgcosasinB (1) 的小量，得到线性化的受扰运动方程： m(e,-0ea十0ee)=F,一mg血a 7(a+b)定+2a9-5ga■0 (2)》 (17) m(+)-N mgcosacos8 (3) 7(a+B)8-2a0d-5g8-0 (18) 由相对质心的动量矩定理在动坐标系【C,一，， 其特征方程为： ,】各轴的投影式得： 17(e+b)从-5e 2a0, A(1)= =0 子(a,-a,+,o)-Pn 4) -24001 7(a+b)-5g 或 49(a+b2+[ea鲥-70(a+b)g] 子n(a-0@+0o)--0”(5) +25g=0 《1財 四个特征根都没设有正实部的条件是：· 子n(,-0,m+0,e)-0 (6) [4-70(e+6)g小-4·25·49a+ by≥0 (20) 运动学关系： a≥35g(a+b6)/d .-0x(a+b% (21) 这就是动球在最高点自转运动的稳定条件（严格地讲， 。g