高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 MN 因为lim IMNI lim lMN=l,又im x0MNI NM MN Ar0△x 因此 士+y”. dx 由于=s)是单调增加函数，从而虫>0，=√+y户.于是=+y产k.这就是弧微分公 dx dx 式 因为当△x0时，△~MN,△x又△s与同号，所以 ds=lim A5 =lim -+0- dAr0△xAr0|△rl 因此 ds=+y'2dx, 这就是弧微分公式. 二、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述： 设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M。作为度量弧s的基点.设曲线上点M对 应于弧s,在点M处切线的倾角为，曲线上另外一点N对应于弧s+△s,在点N处切线的倾 角为a+△a 我们用比值Ag 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程 △s 度 记F=AaL 称下为弧段MN的平均曲率. AS 记K=lim △a 4s-0△s? 称K为曲线C在点M处的曲率. 在m怨=密存在的条作下，K- 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是=x),且x)具有二阶导数（这时'(x)连续，从而曲线是光滑 的).因为tan a=)',所以 sec-a da=y"dx, 2