高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 dk= p" sec2a +ana=中y. 又知d=√1+y2k,从而得曲率的计算公式 K快 例1.计算直线y=ax+b上任一点的曲率。 例2.计算半径为R的圆上任一点的曲率， 讨论： 1.计算直线=ax+b上任一点的曲率 提示：设直线方程为=+b,则y=a,y"=0.于是K=0. 2.若曲线的参数方程为x=(0),y=)给，那么曲率如何计算？ 提示：k=lp'0w"0-p'0w0 [02(t)+w2(t)F2 3.计算半径为R的圆上任一点的曲率， 提示：圆的参数方程为x=R cos 1,,=R sin t. 例1.计算等双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率. 解：由y士，得y=京，广是因此y儿l,y2曲线g在点1必 的曲率为 2 12 0+y2)00+-02=2=2 例4抛物线)y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？ 解：由)y=ax2+bx+c,得 y'=2ax+b,y"=2a, 代入曲率公式，得 2a K-[+2ax+b 显然，当2ax+b-0时曲率最大 曲率最大时，一品云，对应的点为抛物线的顶点.因此，抛物线在顶点处的曲率最大， 最大曲率为K=2d. 三、曲率圆与曲率半径 设曲线在点Mx,y)处的曲率为K(K0).在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D,使DM=K=P.以D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆 3