·174 北京科技大学学报 2001年第2期 迹，点返回起点.周期N的轨迹方程为： 4.≈3.9出现Explosive分叉，Logistic图上又演变 x4w产f4,f4,…fμ，f4,x)…)=f(4,x)(3) 成一个充满整个区间的吸引子 它不过是新函数F4,=4,x的不动点 方程，对于周期2轨迹，可解方程组： 2L0 gistic映射混沌产生器 x=心(1-x) (4) x2=4x(1-x) 2.1 Logistic映射混沌产生器电路原理. 解得：x2=[u+1±√+1)4-3)]/24，显然只有当 Logistic映射混沌产生器电路由两大部分 >3时有解.定义F4,x广f几4，f4,x】,那么2 组成：Logistic映射数字产生电路和高分辨率D/ 是F4,x)的不动点. A转换器.前者产生数字混沌信号，后者完成数 sF_架.df1-u+1u-3) 字模拟信号转换，使其输出类似连续流混沌产 dxt dxt x 生器的输出信号.为避免信号在信道上传输时 当4=3时，S=1,此时4的一个小小的正扰即可 的高频畸变，可加人低通平滑滤波器， 使轨迹出现倍周期分叉；一个小小的负扰动，则 Logistic映射数字产生电路，由单片机 轨迹趋向不动点1~1/3.令S=-1则可求得轨迹 89C51完成Logistic迭代算法，·时钟晶振24 分叉为周期4时的μ值，即=1+√6=3.449489， MHz,82C55为初值X0及参数值读入接口， 另外，在=1+√5=3.236067…处，S-0,此点为超 74LS138完成地址译码，74LS373为地址存器，5 稳定点，即轨迹以指数速度收敛到稳定的周期 片74LS377完成24位二进制迭代数据的同步 2轨迹.依次类推，可求得周期4，周期8，…周期 输出，最大输出十进制数，0224-1，值的选取根 2”的轨迹分界点4值及x,2,x点轨迹值和超稳 据上节logistic映射参数区间特性所述近似如 定点值，这种连续分叉的情形是Logistic映射的 表1所示.为保证输出是混沌的，值应在阵发混 重要特点之一，经过大量的分叉后，周期变得无 沌带和混沌带内.若用于保密通信，选取值在不 限长，也不再存在周期性，此时系统的吸引子成 动点内，相当于对加密信号不加密的控制，使用 为非周期的，即混沌的，出现这种现象的点是倍 起来十分方便. 周期序列的累加点.假定用4代表周期2轨迹 分叉点，则可用比值： 表1μ值参数选取 dn=。4= Table 1 Selection of u value (5) 4+1一4o μ值 轨迹 上式当n+0时为一常数，6=4.66920…，这就 (0.1) 不动点0 是著名的Feigenbaum常数.6的另一种定义可 (1,3) 不动点x值1-14，超稳定点=2 以是超稳定点之间的距离，于是可估计4的数 (3,3.571448) 倍周期分叉，分叉点序列 值： Am≈h6二L (3,3.449489,,3.571448) 6-1 (6) 超稳定点序列(3.236679，…) 若取前述=2时，6的近似值为√6+√5，可得 3.571448,3.82842) 阵发混沌 4m≈3.571448，当μ>4.时，周期2轨迹不复存 (3.82842,3.85) 周期3分叉(Tangent分叉) 在.事实上，周期轨迹始终存在着，只不过在计 (3.85,3.9) Explosive分叉 算机计算精度范围已看不见了.此时我们说存 (3.9,4.0) 混沌 在混沌映射，它有3个明显特征：(1)对初始条 2.216-24位D1A转换器设计 件具有敏感依赖性；(2)它是非周期的；(3)存在 由2个12位D/A转换器组成的廉价24位 着奇怪吸引子. D/A转换器，将输出的24位二进制信息转换为 既然有偶数周期轨迹，是否还存在齐数周 模拟信号.实际应用中根据需要也可设计164 期轨迹(Tangent分叉)？，考察周期3，即 位的D/A转换器. F4,x上(4，x)的点的集合.事实上周期3轨迹 设：从低到高的数据位序列为(C,C,…,Cs, 是存在的，这个方程是1个六次方程，并可精确 设计n位D/A转换器(n≥16)2个D/A的输出为 求解u。=1+2√/2≈3.8284271….按照Li-Yorke定 n-2 EC2 理：“周期3蕴涵混沌”，显然将会有混沌产生， =20m,%4=- Cn2a-r0 22 .Vea 前苏联学者Sarkovskii明确指出随后发生的周 且满足： 期n(n为任意数)序列，可以求得第2个4。点，北 京 科 技 大 学 学 报 2 00 1 年 第 z 期 迹点返 回 起点 . 周期N 的轨迹方程为 : 工耐习如 , 加 , 一加 , 凡 j , *x) .) · )二尹伽 , x,) (3) 它不过是新 函数 肠 才, *x) 二 了 W心 沼, x,) 的 不动点 方程 , 对 于周 期 2 轨迹 , 可解方程组 : 产 . 二 3 . 9 出现 E x Plos ive 分叉 , L og is ict 图上又演变 成一个充满整个 区 间的 吸引 子 . x , = 娜 2 ( l 一 x) 两 = 那 , ( 1一 x l ) ( 4 ) 解得 : xl, 2 = 叻+l 土丫币平刃石二亏) J#2/ , 显然 只有 当 尸>3 时有解 . 定义 厂勺 通, 从卜几 才, 加 , x,) 」 , 那 么 xl, : 是 孔 沼对 的不 动点 . ~ a F毛沼凡 .1办_ a 一 八户入 J 刁了心 才血 ) _ , 胖 生哉黔宁习篙犷 丝 . 骂黔 二 1 一秘l )伽一 3 ) 当户= 3 时 , S = 1 , 此时 产 的一个 小小 的正扰 即可 使轨迹出现倍周期分叉 ;一个小小 的负扰动 , 则 轨迹趋向不动点 1一 13/ . 令 S = 一 1 则可求得轨迹 分叉为周期 4 时 的产 值 , 即产= 卜褥二3 . 4 9 4 89 · “ · , 另外 , 在 产= 1十再 = 3 . 2 3 6 0 6 .7 · 处 , 及闭 , 此点为超 稳定点 , 即轨迹 以指数速度 收敛到稳定 的周期 2 轨迹 . 依次类推 , 可求得 周期 4 ,周期 8 , … 周期 2n 的轨迹分界点 沁 值及 xl , 2 , . ~ , 二 点轨迹值和超稳 定点值 , 这种连续分叉 的情形是 L og i isct 映射的 重要特点之一 经过大量的分叉后 , 周期变得无 限长 , 也不再存在周期性 , 此时 系统 的吸引子成 为非周期的 , 即混沌 的 . 出现这种现象的 点是倍 周期序列的累加点 . 假定用 产 。 代表周期 2 ” 轨迹 分叉点 , 则可用 比值 : 2 L o gl s it c 映射混沌产生器 .2 1 oL igs ict 映射混沌产生器 电路原理 . L og ist ic 映射混沌 产生器 电路 由两大 部分 组成 : oL ig s t l c 映射数字产生 电路和 高分辨率 D/ A 转换器 . 前 者产生数字混沌信号 , 后者完成数 字 /模拟信号转换 , 使其输 出类 似连续流棍沌产 生器 的输 出信号 . 为避免信号在信 道上传输时 的高频 畸变 , 可加 人低通平滑 滤波器 . oL ig ist 。 映 射 数 字 产 生 电 路 , 由单 片 机 89 c 51 完成 L o ig ist 。 迭 代算法 , · 时钟 晶振 24 M F吃 , 82 c5 5 为初 值 x o 及 参数 值读人接 口 , 7 4 L S 13 8 完成地址译 码 , 7 4 L S 3 7 3 为地址存器 , 5 片 74 L s 3 7 完成 24 位 二进制 迭代数据 的同步 输 出 , 最大输 出十进 制数 , 0 2 24 一 l, 值的选取根 据上 节 lgo i ist 。 映射参数区 间特性所述 近似如 表 1所示 . 为保证输 出是混沌 的 , 值应在阵发混 沌带和混沌带内 . 若用 于保密通信 , 选取值在不 动点 内 , 相 当于对加密信号不加密的控制 , 使用 起来 十分方便 . 氏二 赵些二巡 二丝 尸附一产。 ( 5 ) 表 1 产 值参 数选取 介b le 1 S e le e iot n o f 产 v a l u e 轨迹 上式 当 n 、 二 时为一常数 , 占二 .4 6 69 20 … , 这 就 是著名 的 Fie ge bn ~ 常数 . J 的另一种定义 可 以是超稳定点之间 的距离 , 于是可估计 产 . 的数 值 : 尸 ; 。 夸架 (6) 若取前述 刀 = 2 时 , 占的近似值 为 占二杯 + 办 , 可得 产 . 二 3 . 57 1 4 .8 · , 当产初 。 时 , 周 期 2n 轨迹不复存 在 . 事实上 , 周期轨 迹始终存在着 , 只不过在计 算机计算精度范 围已 看不见 了 . 此时我们说存 在混沌 映射 , 它有 3 个 明显特征 : ( l) 对初始条 件具有敏感依赖性 ; (2 ) 它是非周期 的 ; (3 ) 存在 着奇怪 吸引子 . 既然有偶数周期 轨迹 , 是 否还存 在齐数周 期 轨 迹 邝功g e nt 分 叉 ) ? 、 考 察 周 期 3 , 即 孔 沼, xk) 于厂 3勿 , *x) 的点 的集合 . 事实上周期 3 轨迹 是存在 的 , 这个方程是 1个六次方程 , 并可精确 求解 热= 卜2梅 二 3 . 828 4 27 卜二 按 照 iL 一、 b 水e 定 理 : “ 周期 3 蕴涵混沌 ” , 显 然将会有混沌产生 . 前 苏联学者 S 甲火o v isk i 明确指 出随后发生 的周 期 n (n 为任意数 )序列 , 可 以求得第 2 个 产 . 点 , ( 3 , 3 . 5 7 1 4 8) (3 . 57 1 4 4 8 , 3 . 82 8 4 2 ) ( 3 . 82 8 4 2 , 3 . 85) ( 3 , 8 5 , 3 . 9) ( 3 . 9 , 4 0) 不动点 O 不动点 x 值1一 l加 , 超稳定点尸= 2 倍周期 分叉 ,分叉 点序列 ( 3 , 3 . 4 49 4 8 9 , … , 3 . 5 7 1 44 8 ) 超 稳定点序列 (3 . 2 36 6 79 , … ) 阵发混沌 周期 3 分叉 (几n g e in 分叉) E xP l o s iv e 分叉 棍沌 门一nJ `.L 产一八 、引叼 .2 2 1吞se 2 4 位 D IA 转换器设计 由 2 个 12 位 D /A 转换 器组成 的廉价 24 位 D /A 转换器 , 将输 出的 24 位二进制信息 转换 为 模拟信号 . 实际应用 中根据 需要 也可设计 1 64 位 的 D A/ 转换器 . 设 : 从低到高的数据位序 列为( oC ,口 , … , Q 3 ) , 设计 n 位 D A/ 转换器 ( n 〕 16 )2 个 D 儿A 的输出为 代 “ 且满足 : l 1 艺C 神 O 月~ 12 艺 已+lt · 2 (23 一 · 闲 珠 。 , K 二 一丝 一一 一 一一 . 玖 口 `