于是,利用三角不等式,得 a1+a2+ a1+a2+…+aN1,aN1+1+aN1+2+……+ a1+a2+…+a +/-+1+aN2+2+…+an 逆命题不成立,例如:an=(-1)n (2)若an>0,则 lim va1a2…an=a 提示:利用上题的结论。 18.用定义证明下列数列为无穷大量 1 解对任意正整数n,存在正整数k,使得2≤n<2k+1,所以 11 1+-+-+…+ n 1++(+7)+(2++2+5)+ 7 (21+1+2+2+“+2+2)+乎+…+1 1111 ≥1+,+(7+7)+(5+5+5+5)+ +x+… k+1 2 In n 2 In 2 显然地,VM>0,不等式 2h2>M等价于m>22于是，利用三角不等式，得 | a1 + a2 + · · · + an n | = | a1 + a2 + · · · + aN1 n + aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | ≤ |a1 + a2 + · · · + aN1 n | + | aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | < ε 2 + (n − N1) ε 2 n < ε. 逆命题不成立，例如：an = (−1)n . (2) 若an > 0，则 limn→∞ √n a1a2 · · · an = a. 提示：利用上题的结论。 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (4) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . 解 对任意正整数n，存在正整数k，使得2 k ≤ n < 2 k+1 , 所以 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n = 1 + 1 2 + (1 3 + 1 4 ) + (1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + · · · +( 1 2 k−1 + 1 + 1 2 k−1 + 2 + · · · + 1 2 k−1 + 2k−1 ) + 1 2 k + 1 + · · · + 1 n ≥ 1 + 1 2 + (1 4 + 1 4 ) + (1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + · · · + ( 1 2 k + 1 2 k + · · · + 1 2 k ) | {z } 2 k−1个 = k + 1 2 ≥ ln n 2 ln 2 显然地，∀M > 0, 不等式 ln n 2 ln 2 > M等价于n > 2 2M 5