第1期 莫惠栋：配料湿合试骏的设计和分析 3 2.45种或更多种配料斌验 A(1.0,0,0) 5种配料混合试验的因子空间是4维的，难以用图解展 示。但可以设想，它由一系列大小递减的正四面体组成，其 (1,0,0,X 中最大的一个是X,=0:而后四面体体积逐渐变小，X则 逐新增大，直到X=1时的顶点(X1,X2,X,X,X)=(0,0, (1.X.0.0) 0,0,1). (0,0,0. 0.0X5 由上述结果可以建立混合试验处理空间的一般性类推 0.X,.X.0) 原则，即：边（棱）线（一维）可用以表示2种比率均不为1或0 0.110.00 的配料的任何组合，具有图1特征：平面（二维）可用以表示 3种比率均不为1或0的配料的任何组合，具有图2特征；四 围34种配料的试验因子空间 Fig.3 Spa e of exper 面体（三维）可用以表示4种比率均不为1或0的配料的任 【or4 ingredients 何组合，具有图3特征；…；(p一1)维空间可用以表示p种 比率均不为1或0的配料的任何组合.所以，尽管5种以上配料混合试验的因子空间非常抽象，其试验设 计和统计分析并不存在实际困难， 3混合试验的设计 3.1顶点和边界点设计(apex and oundary points design) 顶点是一种配料的比率为1，其余配料的比率均为0的处理点，顶点间的连线称为边界线.顶点和边 界点设计就是设计的处理点由顶点和均匀分布于边界线上的边界点组成，简称顶点设计，它是混合试验 中最简单的设计，常用符号M(9}表示。这里的M指混合试验，P指试验因子数，即配料种数，g指边 长的等分数(quantitles)。例如： M(3,2}设计：表示该试验有 3种配料，边长为二等分，故试验 的处理组合为(X1,X,X)=(1 0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1/2 1/2.0),(1/2.0,1/2)和(0,1/2. 1/2),共6个.这里前3个组合 顶点，后3个组合为二等分边界 点，参见图4(a). M《3,3}设计：表示该试验3 国43种配料混合的处建点分布 种配料的边长为3等分，故处理组 Fig.4 Distribution of experimental points for 3 ingredients (a)M{3,2)设计：(6)M{3,3}设计 合为(X1,X2,X)=(1,0,0),(0, 1,0)(0,0,1),(2/3,1/3,0),(1/3,2/3,0),(2/3,0,1/3),(1/3,0,2/3),(0,2/3,1/3)和(0,1/3,2/3) 共9个。参见图4b) 同理，M{4.2}设计：处理组合为(X,X,XX)=(1.0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), (1/2,1/2,0,0),(1/2,0,1/2,0),(1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,0,1/2)和(0,0,1/2,1/2)，共 10个。前4个组合为顶点，余为边界点，参见图5 M{4,3}设计：处理组合为(X,X2,X,X)■(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(2/3 1/3,0,0),(1/3,2/3,0,0),(2/3,0,1/3.0),(1/3,0,2/3,0),(2/3,0,0,1/3),(1/3,0,0,2/3),(0,2/3 1/3,0),(0,1/3,2/3,0),(0,2/3,0,1/3),(0,1/3,0,2/3),(0,0,2/3,1/3)和(0,0,1/3,2/3)，共16个 p≥5，g≥4的M《p,a}设计均可以此类推得出. 在儿何学上，由式(1)定义的b维平面称为单纯形(simplex)平面.试验的处理组合则是将该平面试 验域均分为若干格子[参见图4(a)门.故上述设计又称为单纯形格子设计(simplex-attice design))。 万方数据第1期 莫惠栋：配料混合试验的设计和分析 3 2．4 5种或更多种配料试验 5种配料混合试验的因子空间是4维的，难以用图解展 示。但可以设想，它由一系列大小递减的正四面体组成，其 中最大的一个是X。=0；而后四面体体积逐渐变小，X。则 逐渐增大，直到X。一1时的顶点(X，，X。，X。，X。，X。)=(o，0， 0，0，1)。 由上述结果可以建立混合试验处理空间的一般性类推 原则，即：边(棱)线(一维)可用以表示2种比率均不为1或0 的配料的任何组合，具有图1特征；平面(二维)可用以表示 3种比率均不为1或0的配料的任何组合，具有图2特征；四 面体(三维)可用以表示4种比率均不为1或0的配料的任 何组合，具有图3特征；…；(p一1)维空间可用以表示P种 B (0，1，o，O) C ．o，1，0) 图3 4种配料的试验因子空间 Fig．3 Space of experimental factor for 4 ingredients 比率均不为1或0的配料的任何组合。所以，尽管5种以上配料混合试验的因子空间非常抽象，其试验设 计和统计分析并不存在实际困难。 3混合试验的设计 3．1顶点和边界点设计(apex and boundary points design) 顶点是一种配料的比率为1、其余配料的比率均为0的处理点，顶点间的连线称为边界线。顶点和边 界点设计就是设计的处理点由顶点和均匀分布于边界线上的边界点组成，简称顶点设计。它是混合试验 中最简单的设计，常用符号M{P，g)表示。这里的M指混合试验，P指试验因子数，即配料种数，q指边 长的等分数(quantities)。例如： M{3，2)设计：表示该试验有 3种配料，边长为二等分，故试验 的处理组合为(X，，x。，X。)=(1， 0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1／2， 1／2，0)，(1／2，0，1／2)和(0，1／2， 1／2)，共6个。这里前3个组合为 顶点，后3个组合为二等分边界 点，参见图4(a)。 M{3，3)设计：表示该试验3 种配料的边长为3等分，故处理组 合为(X1，X2，X3)一(1，0，o)，(o， (0。l，O) (0，1／2．1，2) (0,0，1) (a) (0．J，0)《O，2／3，i／3)(O，113，2／3)(0．0，” (b) 图4 3种配料混合的处理点分布 Fig．4 Distribution of experimental points for 3 ingredients (a)M{3，2}设计；(b)M{3，3}设计 1，O)，(0，0，1)，(2／3，1／3，0)，(1／3，2／3，0)，(2／3，0，1／3)，(1／3，0，2／3)，(O，2／3，1／3)和(0，1／3，2／3)， 共9个。参见图4(b)。 同理，M{4，2)设计：处理组合为(X1，X2，X3，X。)一(1，0，0，o)，(o，1，0，O)，(o，0，1，o)，(o，0，0，1)， (1／2，1／2，0，o)，(1／2，0，1／2，o)，(1／2，0，0，1／2)，(o，1／2，1／2，O)，(O，1／2，0，1／2)和(O，0，1／2，l／2)，共 10个。前4个组合为顶点，余为边界点，参见图5。 M{4，3)设计：处理组合为(x1，x2，X3，x4)=(1，0，0，o)，(o，1，0，o)，(o，0，1，o)，(o，0，0，1)，(2／3， 1／3，0，O)，(1／3，2／3，0，O)，(2／3，0，1／3，0)，(1／3，0，2／3，O)，(2／3，0，0，1／3)，(1／3，0，0，2／3)，(O，2／3， 1／3，O)，(O，1／3，2／3，O)，(O，2／3，0，1／3)，(0，1／3，0，2／3)，(0，0，2／3，1／3)和(O，0，1／3，2／3)，共16个。 p≥5，g≥4的M{P，q}设计均可以此类推得出。 在几何学上，由式(1)定义的户维平面称为单纯形(simplex)平面。试验的处理组合则是将该平面试 验域均分为若干格子[参见图4(a)]。故上述设计又称为单纯形格子设计(simplex—lattice design)[1]。 万方数据