例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性： ⊙0表示以0为圆心的圆： sinr表示正弦函数： “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体一一从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来：自然数一一从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←一实数一实数一有理数一自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生一一诸多“规定”：任何数乘以0的积为0：又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数： 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等)。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来)，或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延一一这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept),是从质和量两个方 3 3 例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆 的本质属性； O 表示以 O 为圆心的圆； sinx 表示正弦函数； “方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体——从物体的形状、 位置、大小关系等概括出来；自然数——从手指数和其他单个事物排列次序抽象 出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成 的：复数←实数←实数←有理数←自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可 以无限延伸”。 ④数学内部需要产生——诸多“规定”：任何数乘以 0 的积为 0；又例：为 把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中， 产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。 ⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。 ⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展 而发展成为新的概念。例如： 多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线 所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。 关于几何量角的三角函数→实数的三角函数。 总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展 甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流 形等等）。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直 接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来），或者在一定的理 性认识基础上产生出来并逐步发展的。 2、概念的内涵和外延——这是概念的逻辑特征 概念的内涵和外延(Connotation and Extention of Concept)，是从质和量两个方