第8章数字通信中的信道编码 码元仅与本码组的信息码元有关，而在卷积码中，监督码元不仅与本组的信息码元有关， 还与前面若干组的信息码元有关。 8.3.3生成矩阵与校验矩阵 设编码器输入为Xn=x1,x,xt小，输出矢量为Cn=c,cn2,C】,对于二进制线 性分组码，编码运算可用n个方程表示： Cw =xmi8+x+j=1.2.n (8-3-8) 改写成矩阵形式：Cn=XG,其中 「81「81812.gm G=8 88.8 (8-3-9) 称为生成矩阵，{g}是(m,k)分组码的基底。 >如：n=8,k=6,即每输入6比特，编码成一个8比特的码字。可以看出，线性分组 码的编码码元为生成矩阵各列向量的线性组合，线性组合的系数为输入的信息序列。 (m,k)分组码的生成矩阵G都可通过初等变换简化成如下的系统码形式： [100.0A1Pa.PA-t ::::ξ： (8-3-10) 000 1 PuPia.p-4J 其中I4是k×k的单位矩阵，P是(n-k)×(n-k)的矩阵，P决定(n-k)个冗余比特。 任何一个(m,k)分组码都存在一个n-k维对偶码，对偶码是由零空间中n-k个线性无关 的码矢量组成，其生成矩阵表示为H。由于(m,k)码中任意一个码字C均与其对偶码的各 码字正交，因此(m,)码的任意码字必正交于矩阵H的每一行，可得 m,CHT=0或GHT=0 (8-3-11) 可见矩阵H可以用来检错，因而称为(m,)码的校验矩阵。 ■线性分组码可以由一个校验矩阵H等效描述，所有码字C=(1,02,c)均满足 HC0。校验矩阵的每一行表示一个校验约束关系，行中不为零的码元变量参与了 该行的校验方程。 若G是系统生成矩阵，则对偶码的生成矩阵： 西安电子科技大学第 8 章 数字通信中的信道编码 西安电子科技大学 8 码元仅与本码组的信息码元有关，而在卷积码中，监督码元不仅与本组的信息码元有关， 还与前面若干组的信息码元有关。 8.3.3 生成矩阵与校验矩阵 设编码器输入为 1 2 [ , , ., ] X xx x m m m mk = ，输出矢量为 1 2 [ , , ., ] C cc c m m m mn = ，对于二进制线 性分组码，编码运算可用 n 个方程表示： 11 2 2 . 1,2,., mj m j m j mk kj c xg xg xg j n = + ++ = (8-3-8) 改写成矩阵形式：C XG m m = ，其中 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 n n k k k kn g gg g g gg g G g gg g ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ " " # ## # " (8-3-9) 称为生成矩阵，{gi} 是(, ) n k 分组码的基底。 ¾ 如： n k = = 8, 6 ，即每输入 6 比特，编码成一个 8 比特的码字。可以看出，线性分组 码的编码码元为生成矩阵各列向量的线性组合，线性组合的系数为输入的信息序列。 (, ) n k 分组码的生成矩阵G 都可通过初等变换简化成如下的系统码形式： 11 12 1 21 22 2 1 2 100 0 010 0 [ ] 000 1 n k n k k k k kn k pp p pp p G IP pp p − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦ " " " " ## # ## # " " (8-3-10) 其中 Ik 是 k k × 的单位矩阵，P 是( )( ) nk nk −×− 的矩阵，P 决定( ) n k − 个冗余比特。 任何一个(, ) n k 分组码都存在一个 n k − 维对偶码，对偶码是由零空间中 n k − 个线性无关 的码矢量组成，其生成矩阵表示为 H 。由于 (, ) n k 码中任意一个码字Cm 均与其对偶码的各 码字正交，因此(, ) n k 码的任意码字必正交于矩阵 H 的每一行，可得 , T ∀ = mCHm 0或 T GH = 0 (8-3-11) 可见矩阵 H 可以用来检错，因而称为(, ) n k 码的校验矩阵。 „ 线性分组码可以由一个校验矩阵 H 等效描述，所有码字 C=(c1,c2,.,cn)均满足 HCT =0T 。校验矩阵的每一行表示一个校验约束关系，行中不为零的码元变量参与了 该行的校验方程。 若G 是系统生成矩阵，则对偶码的生成矩阵：