第8章数字通信中的信道编码 H=IPT L] (8-3-12) 设C,代表(n,k)码中重量最小的码字，则其重量就是该码的最小距离d。由C,=0, 可知H的秩≤d-1。由零空间的性质可知H的秩为n-k,则得 d≤n-k+l (8-3-13) 【定理】(n,k)线性分组码最小距离等于d的充要条件是H矩阵中任何d-1列线性无关。 【例】(7,4)汉明码编码 (7,4)分组码的形式为Aa6a5a4aa2a1a,其中aa5aa为信息码元，aaa为监 督码元，监督码元与信息码元的关系为： a,+a+a+a=0 a=a。+a+a或者a。+a+a+a-0 (8-3-14) ao as +as +as a+a+a+a。=0 写成矩阵形式： HA=0 (8-3-15) 「1110100 其中矩阵1101010就是校验矩阵，0=0：H=P，P为r×K的矩阵 1011001 0 I为r阶单位阵。如将方程补充完整，则有 a6=a6 [a1f1000] as=ds 0100 a =a, 0010a a3=d3 人 或a 0001 (8-3-16) a. a=a6+a5+a 1110 a=as +as+a /9 1101La do asas ay a 1011 「1000111门 其中矩阵 0100110 就是为生成矩阵G,可表示为GIP]:利用信息序列与生 0010101 0001011 成矩阵就可以产生编码码元。此码共有8个码字，如表8-3-1所示。 西安电子科技大学 第 8 章 数字通信中的信道编码 西安电子科技大学 9 [ ] T H PI = n k − (8-3-12) 设Cj 代表(, ) n k 码中重量最小的码字，则其重量就是该码的最小距离 min d 。由 T C Hj = 0 ， 可知 H 的秩 min ≤ − d 1。由零空间的性质可知 H 的秩为 n k − ，则得 min d nk ≤ − +1 (8-3-13) 【定理】(n,k)线性分组码最小距离等于 min d 的充要条件是 H 矩阵中任何 min d −1列线性无关。 【例】（7,4）汉明码编码 （7,4）分组码的形式为 A=[a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0]，其中 a6a5a4a3为信息码元，a2a1a0为监 督码元，监督码元与信息码元的关系为： 2 654 1 653 0 643 a aaa aaaa a aaa ⎧ =++ ⎪ ⎨ =++ ⎪ ⎩ =++ 或者 6542 6531 6430 0 0 0 aaaa aaaa aaaa ⎧ + ++= ⎪ ⎨ + ++= ⎪ ⎩ + ++= (8-3-14) 写成矩阵形式: HA= 0 (8-3-15) 其中矩阵 H= 1110100 1101010 1011001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 就是校验矩阵，0 = 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ；H =[P I]，P 为 r×K 的矩阵， I 为 r 阶单位阵。如将方程补充完整，则有 6 6 5 5 4 4 3 3 2 654 1 653 0 643 a a a a a a a a a aaa aaaa a aaa ⎧ = ⎪ = ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ =++ ⎪ ⎪ =++ ⎪ ⎩ =++ 或 6 5 6 4 5 3 4 2 3 1 0 1000 0100 0010 0001 1110 1101 1011 a a a a a a a a a a a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (8-3-16) 其中矩阵 1000111 0100110 0010101 0001011 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 就是为生成矩阵 G，可表示为 G=[ I PT ]；利用信息序列与生 成矩阵就可以产生编码码元。此码共有 8 个码字，如表 8-3-1 所示