西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第8章信道编码.pdf_大学文库

第8章数字通信中的信道编码第8章数字通信中的信道编码可数字通信信号在传输过程中因信道失真、噪声和干扰的影响，导致接收端解调检测后的误码率达不到实用要求，例如话音通信的误码率高于102，数据通信的误码率高于 10；一般都需要进行纠错编码，使之降低到希望达到的误码率。。依据有噪声信道编码定理（又称香农第二定理），只要通信速率小于信道容量，则存在一种编码，使得误码率任意小，这为采用信道编码提供了理论依据： ◆信道编码大致可分为两大类，一类是随机码编码，利用概率方法分析编码信号的性能，对特定信道通信：这种方法可给出错误概率限，但在实际中难于实现，香农在推导信道容量公式时，就是利用了随机编码，假定所采用的信道编码完全随机而且无限长。 ◆另一类是基于代数理论的代数编码和基于概率论的概率编码，前者主要包含分组码，后者主要包含卷积码、级联码、乘积码、格形编码调制以及Tubo码。 ◆代数编码理论主要是研究对于给定的码率（即编码前后数据率之比），寻找可以最大化最小距离的码字；而概率编码理论则偏重于寻找在考虑编、译码复杂度基础上优化平均性能的码字。 ◆基于代数理论和基于概率理论的编码易于实现，是本章的主要内容。 8.1编码器设计中多种因素的权衡 8.1.1编码增益及其极限香农推导出的有限带宽AWGN波形信道的容量公式为： C=w1oe,+N）(bps (8-1-1) 其中W2)为信道带宽，P为信号功率，N为噪声功率谱密度，P/(N,W)为信噪比设一个信息速率为R,(bs)数据流，以码率为r=k1n进行信道编码后其速率变为R,/r: 如果使它通过一条基于BPSK调制、带宽为W的波形信道以最高速率-W(bs)传输，则要实现几乎无误码传输必须满足下式： (8-1-2) 西安电子科技大学 1

第 8 章数字通信中的信道编码西安电子科技大学 1 第 8 章数字通信中的信道编码 ) 数字通信信号在传输过程中因信道失真、噪声和干扰的影响，导致接收端解调检测后的误码率达不到实用要求，例如话音通信的误码率高于 10-2，数据通信的误码率高于 10-6；一般都需要进行纠错编码，使之降低到希望达到的误码率。 ) 依据有噪声信道编码定理（又称香农第二定理），只要通信速率小于信道容量，则存在一种编码，使得误码率任意小，这为采用信道编码提供了理论依据；信道编码大致可分为两大类，一类是随机码编码，利用概率方法分析编码信号的性能，对特定信道通信；这种方法可给出错误概率限，但在实际中难于实现，香农在推导信道容量公式时，就是利用了随机编码，假定所采用的信道编码完全随机而且无限长。另一类是基于代数理论的代数编码和基于概率论的概率编码，前者主要包含分组码，后者主要包含卷积码、级联码、乘积码、格形编码调制以及 Turbo 码。代数编码理论主要是研究对于给定的码率(即编码前后数据率之比)，寻找可以最大化最小距离的码字；而概率编码理论则偏重于寻找在考虑编、译码复杂度基础上优化平均性能的码字。基于代数理论和基于概率理论的编码易于实现，是本章的主要内容。 8.1 编码器设计中多种因素的权衡 8.1.1 编码增益及其极限香农推导出的有限带宽 AWGN 波形信道的容量公式为： 2 0 log (1 ) P C W N W = + (bps) (8-1-1) 其中 W(Hz)为信道带宽， P 为信号功率，N0为噪声功率谱密度， 0 P /( ) N W 为信噪比。设一个信息速率为 Rb (bps)数据流，以码率为 r kn = / 进行信道编码后其速率变为 Rb /r ；如果使它通过一条基于 BPSK 调制、带宽为W 的波形信道以最高速率-W (bps)传输，则要实现几乎无误码传输必须满足下式： Rb = r W < 2 0 log (1 ) P W WN + (bps) (8-1-2)

第8章数字通信中的信道编码消耗带来误码率升高的损失，因而能获得编码增益：这就是在同一信噪比下误码率得到改善，或在达到相同误码率时所需信噪比可降低，降低的倍数就是编码增益：当然在不同误码率级别上能获得的编码增益是不同的。 >在交叉点以上，冗余所引起能量损失的负面影响超过了纠错码纠错带来的好处，因此纠错编码反而使误码特性变差：这是因为信噪太低，所产生的误码率超出了纠错码的纠错能力，以至于越纠越错，误码率反而增大。 8.2差错类型及差错控制方式 ◆对于差错的控制方式，分为自动检错重发方式(ARQ)和前向纠错方式(FEC)。 ◆ARQ是一类实现高可靠性传输的检错重传技术，它无需复杂的纠错设备，实现相对简单。ARQ方式的编码只需要有检错能力，如奇偶校验码、循环冗余检验CRC码在接收端通过检错来决定是否需要重传。 ◆下EC方式是单向的，在接收端通过纠错来降低误码率，因此所用编码要有纠错功能如分组码、卷积码等。与ARQ方式相比，FEC方式的码编码与译码实现方法都要复杂得多。 ()检错重发方式使够发现错误的码发送端接收端应答信号图8-2-1ARQ原理框图 ARQ的主要优点： ①只需要少量的多余码元（如5%-20%）就能获得极低的输出误码率。 ②要求使用的检错码基本上与信道编码的差错统计特性无关，能适用于各种类型信道。 ③实现成本和复杂性很低， ARQ的主要缺点： ①由于需要反向信道，故不能用于单向传输系统，也难以用于广播系统的重发控制。 ②当信道传输性能很差时，系统可能处于重发循环中而使通信效率低甚至不能通信。 ③不适于实时性、连续性要求较高的通信业务。 (2)前向纠错方式(FEC) 发送端发送能够纠正错误的码，接收端收到后通过纠错码自动纠正传输中的错误，特点是单向传输。与ARQ方式相比，FEC方式的优点是不需要重传，无需反向信道，延时小，实时性好：其缺点是编码与译码方法都要复杂，编码效率较低，所选用的纠错码须与信道特性相匹配。同时每种编码都有一定的纠错能力，误码超出纠错范围将导致误码更加恶化。西安电子科技大学

第 8 章数字通信中的信道编码西安电子科技大学 5 消耗带来误码率升高的损失，因而能获得编码增益；这就是在同一信噪比下误码率得到改善，或在达到相同误码率时所需信噪比可降低，降低的倍数就是编码增益；当然在不同误码率级别上能获得的编码增益是不同的。 ¾ 在交叉点以上，冗余所引起能量损失的负面影响超过了纠错码纠错带来的好处，因此纠错编码反而使误码特性变差；这是因为信噪太低，所产生的误码率超出了纠错码的纠错能力，以至于越纠越错，误码率反而增大。 8.2 差错类型及差错控制方式对于差错的控制方式，分为自动检错重发方式（ARQ）和前向纠错方式（FEC）。 ARQ 是一类实现高可靠性传输的检错重传技术，它无需复杂的纠错设备，实现相对简单。ARQ 方式的编码只需要有检错能力，如奇偶校验码、循环冗余检验 CRC 码，在接收端通过检错来决定是否需要重传。 FEC 方式是单向的，在接收端通过纠错来降低误码率，因此所用编码要有纠错功能，如分组码、卷积码等。与 ARQ 方式相比，FEC 方式的码编码与译码实现方法都要复杂得多。 (1) 检错重发方式图 8-2-1 ARQ 原理框图 ARQ 的主要优点： ① 只需要少量的多余码元（如 5%-20%）就能获得极低的输出误码率。 ② 要求使用的检错码基本上与信道编码的差错统计特性无关，能适用于各种类型信道。 ③ 实现成本和复杂性很低。 ARQ 的主要缺点： ① 由于需要反向信道，故不能用于单向传输系统，也难以用于广播系统的重发控制。 ② 当信道传输性能很差时，系统可能处于重发循环中而使通信效率低甚至不能通信。 ③ 不适于实时性、连续性要求较高的通信业务。 (2) 前向纠错方式（FEC）发送端发送能够纠正错误的码，接收端收到后通过纠错码自动纠正传输中的错误，特点是单向传输。与 ARQ 方式相比，FEC 方式的优点是不需要重传，无需反向信道，延时小，实时性好；其缺点是编码与译码方法都要复杂，编码效率较低，所选用的纠错码须与信道特性相匹配。同时每种编码都有一定的纠错能力，误码超出纠错范围将导致误码更加恶化

第8章数字通信中的信道编码编码，每个码字都是一个n维矢量：q进制分组码其码字矢量的元素取值于有限域FG(q): {0,1,q-},即每个码字中的元素都是从{0,1，q-中选取的。码率：长度n的二进制分组码有2种可能的码字，从中选择M个码字作为可用码， M=2(k<),而其余2”-2*个码为禁用码。这样k比特的一块数据经编码后映射为一个n 比特的数据块，这就是(m,k)的分组码。其码率定义为R=k/n。码字重量：码字包含的非零元素的个数。如果全部M个码字具有相同的重量，这种码称为恒重码。汉明距离：任意两个码字C,和C,对应位置上元素不同的总个数，记为d。如(7,3)分组码中的两个码字(0111010)与(0011101)的汉明距离为4。汉明距离满足三角不等式，即若CCCk为同一码组中的不同码字，则d+d2d 线性码：设C,和C,为某(m,k)分组码的两个码字，a和a是码元字符集里任意两个元素，若α，C+a,C,也是该码的一个码字，则这种分组码称为线性码。线性码必包含全零码：恒重码是非线性码。最小码距d：M个码字集合中汉明距离{d,}的最小值称为最小码距，最小码距关系者该码字的检错与纠错能力。(n,)饯性分组码最小距离等于dm的充要条件是校验矩阵H 中任何dmml列线性无关。零空间：(m,k)分组码构成k维空间是n维矢量空间的子空间，记为S。,其中任意k个线性无关的矢量可构成“基底”。如果n维矢量空间S中存在另一组矢量，它们与S的基底” 都正交，则这组矢量构成的子空间称为S的零空间，其维数必定等于(-k)。零空间与(m,k) 分组码的生成矩阵G和监督矩阵H之间存在紧密联系。检错能力：假如编码码元C通过噪声干扰信道传输，接收码元R在j个位置出现错误，则dC,Rj。若该分组码的最小汉明距为dmm,这意味着该码组中任意两个码字至少在dmm 个位置上不同，因此dmm1或更少的错误将使R不是该码组中的码字。当接收端发现接收码字是非法码字（非码组中的码）时，就认为检测到了错误。当错误位置大于等于dm时，由于至少存在一对合法码字的汉明距满足dmm,因此该分组码不可能检测到所有dmm个错误，这使得分组码的检错能力为dmml。纠错能力：令1为满足2+1sdm≥2什2的正整数。其纠错能力为=(dmm1)2。系统码：系统码是指其编码输出信息块中完全保留输入信息块的编码方法。编码输出的原始信息位也叫系统位。(，k)分组码中，系统码通常指前k位为原始信息位。根据信息码元与监督码元的函数关系，分为线性码和非线性码。根据信息码元和监督码元之间的约束方式，分为分组码和卷积码。在分组码中，监督西安电子科技大学 7

第 8 章数字通信中的信道编码西安电子科技大学 7 编码，每个码字都是一个 n 维矢量；q 进制分组码其码字矢量的元素取值于有限域 FG( q )： {0, 1, ., 1} q − ，即每个码字中的元素都是从{0, 1, ., 1} q − 中选取的。码率：长度 n 的二进制分组码有 2n 种可能的码字，从中选择 M 个码字作为可用码， M = 2k ( ) k n < ，而其余 2 2 n k − 个码为禁用码。这样 k 比特的一块数据经编码后映射为一个 n 比特的数据块，这就是(, ) n k 的分组码。其码率定义为 / R kn c = 。码字重量：码字包含的非零元素的个数。如果全部 M 个码字具有相同的重量，这种码称为恒重码。汉明距离：任意两个码字Ci 和Cj 对应位置上元素不同的总个数，记为 ij d 。如（7,3）分组码中的两个码字（0111010）与（0011101）的汉明距离为 4。汉明距离满足三角不等式，即若 Ci、Cj、Ck 为同一码组中的不同码字，则 dik+djk≥dij。线性码：设Ci 和Cj 为某 (, ) n k 分组码的两个码字，α1和α 2 是码元字符集里任意两个元素，若α1 2 C C +α j 也是该码的一个码字，则这种分组码称为线性码。线性码必包含全零码；恒重码是非线性码。最小码距 min d ： M 个码字集合中汉明距离{ }ij d 的最小值称为最小码距，最小码距关系着该码字的检错与纠错能力。(n,k)线性分组码最小距离等于 dmin 的充要条件是校验矩阵 H 中任何 dmin-1 列线性无关。零空间：(,) n k 分组码构成 k 维空间是 n 维矢量空间 S 的子空间，记为 c S ，其中任意 k 个线性无关的矢量可构成“基底”。如果 n 维矢量空间 S 中存在另一组矢量，它们与 c S 的“基底” 都正交，则这组矢量构成的子空间称为 c S 的零空间，其维数必定等于( ) n k − 。零空间与 (, ) n k 分组码的生成矩阵 G 和监督矩阵 H 之间存在紧密联系。检错能力：假如编码码元 C 通过噪声干扰信道传输，接收码元 R 在 j 个位置出现错误，则 d(C,R)=j。若该分组码的最小汉明距为 dmin，这意味着该码组中任意两个码字至少在 dmin 个位置上不同，因此 dmin-1 或更少的错误将使 R 不是该码组中的码字。当接收端发现接收码字是非法码字（非码组中的码）时，就认为检测到了错误。当错误位置大于等于 dmin时，由于至少存在一对合法码字的汉明距满足dmin，因此该分组码不可能检测到所有dmin个错误，这使得分组码的检错能力为 dmin-1。纠错能力：令 t 为满足 2t+1≤dmin≥2t+2 的正整数。其纠错能力为 t=（dmin -1）/2。系统码：系统码是指其编码输出信息块中完全保留输入信息块的编码方法。编码输出的原始信息位也叫系统位。（n,k）分组码中，系统码通常指前 k 位为原始信息位。根据信息码元与监督码元的函数关系，分为线性码和非线性码。根据信息码元和监督码元之间的约束方式，分为分组码和卷积码。在分组码中，监督

第 8 章数字通信中的信道编码西安电子科技大学 8 码元仅与本码组的信息码元有关，而在卷积码中，监督码元不仅与本组的信息码元有关，还与前面若干组的信息码元有关。 8.3.3 生成矩阵与校验矩阵设编码器输入为 1 2 [ , , ., ] X xx x m m m mk = ，输出矢量为 1 2 [ , , ., ] C cc c m m m mn = ，对于二进制线性分组码，编码运算可用 n 个方程表示： 11 2 2 . 1,2,., mj m j m j mk kj c xg xg xg j n = + ++ = (8-3-8) 改写成矩阵形式：C XG m m = ，其中 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 n n k k k kn g gg g g gg g G g gg g ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ " " # ## # " (8-3-9) 称为生成矩阵，{gi} 是(, ) n k 分组码的基底。 ¾ 如： n k = = 8, 6 ，即每输入 6 比特，编码成一个 8 比特的码字。可以看出，线性分组码的编码码元为生成矩阵各列向量的线性组合，线性组合的系数为输入的信息序列。 (, ) n k 分组码的生成矩阵G 都可通过初等变换简化成如下的系统码形式： 11 12 1 21 22 2 1 2 100 0 010 0 [ ] 000 1 n k n k k k k kn k pp p pp p G IP pp p − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦ " " " " ## # ## # " " (8-3-10) 其中 Ik 是 k k × 的单位矩阵，P 是( )( ) nk nk −×− 的矩阵，P 决定( ) n k − 个冗余比特。任何一个(, ) n k 分组码都存在一个 n k − 维对偶码，对偶码是由零空间中 n k − 个线性无关的码矢量组成，其生成矩阵表示为 H 。由于 (, ) n k 码中任意一个码字Cm 均与其对偶码的各码字正交，因此(, ) n k 码的任意码字必正交于矩阵 H 的每一行，可得 , T ∀ = mCHm 0或 T GH = 0 (8-3-11) 可见矩阵 H 可以用来检错，因而称为(, ) n k 码的校验矩阵。线性分组码可以由一个校验矩阵 H 等效描述，所有码字 C=(c1,c2,.,cn)均满足 HCT =0T 。校验矩阵的每一行表示一个校验约束关系，行中不为零的码元变量参与了该行的校验方程。若G 是系统生成矩阵，则对偶码的生成矩阵：

第 8 章数字通信中的信道编码西安电子科技大学 10 表 8-3-1 (7,4)线性分组码码字码字信息元信息元监督元信息元信息元监督元 0000 0000 000 1000 1000 111 0001 0001 011 1001 1001 100 0010 0010 101 1010 1010 010 0011 0011 110 1011 1011 001 0100 0100 110 1100 1100 001 0101 0101 101 1101 1101 010 0110 0110 011 1110 1110 100 0111 0111 000 1111 1111 111 8.3.4 伴随式译码设发送的码字为 C=（cn – 1,cn – 2. c1,c0），信道产生的错误图样为 E=（en – 1,en – 2.e l ,e 0），则接收码字为 R=C+E=（cn – 1+ en – 1, cn – 2 + en – 2. c1+ e l, c0 + e 0），其中 ci 和 ei均为二进制数字，加法为模 2 加。译码器的任务就是从 R 中恢复 C，或者说是从 R 中估计 E，如成功恢复，则译码成功，否则译码错误。伴随式定义为接收码字与校验矩阵之乘积，即 S=RHT =（C+E）HT =CHT +EHT (8-3-17) ¾ 由（8-1-3）式可知 CHT =0，因此 S=RHT =EHT 。 ¾ 如果没有错误传输，即 E=0，则 S = EHT =0，若有错误传输，即 E≠0，则 S =EHT ≠0。 ¾ 对于确定的编码，H 是已知的，因此仅 S 与信道错误图样 E 有关。如果能从 S 中得到 E，则可以从接收码字中正确恢复发送码字，即 R+E=C+E+E=C。因此将 S 定义为接收矢量 R 的伴随式或矫正子。线性分组码的一个重要性质是伴随式与错误图样是一一对应的。如何从 S 中确定 E，以便完成正确译码；为了能正确检错与纠错，校验矩阵 H 需满足： ①H 中没有全 0 列，否则相应码字位置上的错误就无法影响伴随式，因而无法检测。 ② H 中所有列都是惟一的；因为假如有两列相同的话，那么二者所对应的错误码发生位置就无法识别。我们以可纠正一位错误的线性分组码为例来说明伴随式与错误图样的关系。（n,k）码共有 2k 个有效码字，由于错误图样不能为有效码字（否则无法检错与纠错），因此错误图样属于 2n-k 空间，错误图样有 2n-k个，这样可以构造出分组码的标准阵列，如表 8-3-2 所示。表 8-3-2 分组码的标准阵列

西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第8章 信道编码

西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第8章信道编码