西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第2章数字通信的数学基础.pdf_大学文库

第 2 章数字通信的数学基础西安电子科技大学 3 (2) 实信号的复数形式表示实信号 s t( ) 的频谱 S f ( ) 具有共轭对称性，即 S f ( ) = * S f ( ) − ；幅度谱关于纵坐标轴对称而相位谱关于纵坐标轴反对称，即| S f ( ) |=| S f ( ) − |，Arg[ S f ( ) ]= − Arg[ S f ( ) − ]；实际频谱是正频率一侧的，负频率频谱是实际频谱的镜像。实信号s t( )的复解析信号s( )t 定义为 () s t = () s t + j s t ( ) (2-2-1a) 其中s t ( ) 为s t( )的 Hilbert 变换，即 s t ( ) = s t( ) * 1 πt = 1 () s d t τ τ π τ ∞ −∞ − ∫ (2-2-1b) s t ( ) 的频谱函数为 S f ( ) = − j f sgn( ). S f ( ) = () 0 () 0 jS f f jS f f − > < ⎧ ⎨ ⎩ (2-2-3) 可见实信号的复解析信号的频谱只有正频率部分，而没有负频率镜像频谱。如果 s t( )是能量有限信号，其复解析信号s( )t 的能量等于 s t( )能量的 2 倍，即 Ex = 2 | ( )| t dt ∞ ∫−∞ s =2 2 [ ( )] s t dt ∞ ∫−∞ =2 Ex (2-2-4) 从(2-2-2)式所示的 Hilbert 变换的频谱函数的特点可以看出，要想求一个离散信号 {s n( ) }的 Hilbert 变换{s n ( )}，只要将{s n( ) 通过一个频率响应特性如(2-2-2)式所示的离散线性系统就可以得到；该线性系统称为 Hilbert 变换器，它既可以是 FIR 形式的，也可以是 IIR 形式的，它是一种实现 90 度相移的全通型滤波器；它能使一个低通型信号中所有频率成分同时移相 90 度，这是采用模拟电路无法直接实现的。 (3) 实信号的复指数形式表示根据正弦模型理论，任一实信号s t( )都可以表示为幅度、相位随时间而变的正弦函数： s t( ) = ( )sin[2 ( ) / 2] At ft t π c + + ϕ π = Re{ ( ) 2 [ () ] c j t j ft Ate e ϕ π } (2-2-5) 其中的复信号 ( ) 2 [ () ] c j t j ft Ate e ϕ π 就是s t( )的复指数表示形式，即 s( )t = A t( ) . [2 ( )] c j ft t e π ϕ+ =[ a t jb t () () + ] 2 c j ft e π (2-2-6) 其中a t jb t () () + = ( ) ( ) j t Ate ϕ 。显然有 s t( ) =[s( )t + * s ( )t ]/2 (2-2-7)

第 2 章数字通信的数学基础西电子科技大学 4 注意 s t( )的复指数信号 s( )t 不一定等价于 s t( )的解析信号s( )t ；但是，如果 cf 大于 s t( )频带宽度的 1/2，那么其复指数信号s( )t 便精确地等于其解析信号s( )t 。否则，因零频附近的频谱分量存在混叠现象而使二者之间存在误差；该误差信号e( )t = s( )t -s( )t 可由二者频谱函数之差的反傅里叶变换得到。带通实信号s t( )的解析信号s( )t =[ ( ) ( ) j t Ate ϕ ] 2 c j ft e π ，那么定义 ( ) l s = t ( ) ( ) j t Ate ϕ = a t jb t () () + (2-2-8) 那么 ( ) l s t 就是s t( )的等效低通信号(复包络)。带通信号s t( )可看作是 ( ) l s t 经正交载波调制后得到的结果，即 s t( ) =Re[ ( ) l s t 2 c j ft e π ]；解析信号s( )t 就是 ( ) l s t 频移 cf 所得结果，即 s( )t = () l s t 2 c j ft e π (2-2-9a) 相应的频谱函数S( ) f 和 ( ) l S f 的关系是 S( ) f = ( ) l c S f − f (2-2-9b) (4) 带通实信号的频谱设带通实信号 s t( ) 的等效低通信号 ( ) l s t 的频谱为 ( ) l S f ，那么根据正交调制模型可推出 s t( )的频谱函数S f ( )为： S f ( ) 2 2 2 ( ) Re[ ( ) ] c j ft j ft j ft l s t e dt s t e e dt π π π ∞ ∞ − − −∞ −∞ = = ∫ ∫ = 1 2 2 * 2 [ () () ] 2 c c j ft j ft j ft l l s t e s t e e dt π π π ∞ − − −∞ + ∫ = * [ ( ) ( )] / 2 l cl c S S ff ff − + −− (2-2-10) 带通实信号s t( )的能量 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ( ) {Re[ ( ) ]} | ( ) | | ( ) | cos[4 2 ( )] | ( )| c j ft l l lc l E s t dt t e dt t dt t f t t dt t dt π π φ +∞ ∞ − −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ = = =+ + ≈ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ s s s s (2-2-11) 2.2.2 带通线性系统的复数形式描述设带通线性系统的单位冲激响应为h( )t ，其频率响应为H( ) f ；设h( )t 的复包络为 ( ) l h t ，相应的频率响应为 ( ) l H f ；则有关系式： h( )t = ( ) l h t 2 c j ft e π (2-2-12a) H( ) f = ( ) l c H f − f (2-2-12b)

第2章数字通信的数学基础 (仔)实内积空间与西空间符合上述内积定义及其性质的所有可能的N维矢量构成一个N维复内积空间，复内积空间又称为酉空间。如果这些矢量的各个元素的值只有实部，而虚部值恒等于0，那它们所构成的是N维实内积空间。内积空间属于线性空间。 (4)内积空间的范数定义一种范数来衡量内积空间中一个矢量的长度，并基于此范数定义一种失真测度来衡量该内积空间中两个矢量差异的大小，就可构成一个赋范线性空间。范数有多种形式的定义，以1，范数为例 Ivl∑v,Pe (2-2-19) 当p=1,2,∞时分别对应于：取绝对值之和、求平方和后再开平方、取最大绝对值等三种不同的范数。对应于所定义的范数，可定义相应的失真测度来衡量两个矢量之间差异的大小：例如：基于！，范数的失真测度为 dvv)-v,=2.-.f (2-2-20) 由于基于！，范数的失真测度的定义能满足距离测度所要求的三个条件，即非负性 d(v,v2)≥0、对称性d(v,v2)=d(v2,v)和三角不等式d(y,y2)+d(v2,y)≥d(v,v)成立，因而它是一种距离测度，即欧几里德距离测度。由三角不等式还可推导出Cauchy-Schwart亿不等式，即 kx(),()入≤Ix()l.Ix(O川 (2-2-21) 注：当x,()=ax)(其中a为任意复数)时等式成立因此，定义了l,范数的N维实内积空间是N维欧氏(Euclid距离空间。凡是定义了内积的线性空间都称为欧氏空间；欧氏空间是欧氏距离空间概念的推广，歌氏距离空间所赋予的范数是！，范数，采用欧氏距离衡量其空间中两点（或两矢量）的差异；一般欧氏空间可赋予其它任一种范数和相应的失真测度，因此我们应该从更一般意义上来理解多维空间中的矢量以及它们的度量。 (⑤)内积空间的正交基 N维内积空间中任意N个相互正交的矢量{e,C,ew},即 -6 1j=12N (2-2-22) 可以构成一个正交基。如果这N个矢量都是单位长度的，则构成的是标准正交基。如果该空间中任意一个矢量ⅴ都可以表示为某个正交基中N个正交基矢量的加权和，即 v=.]'=∑ (2-2-23 西电子科技大学

第 2 章数字通信的数学基础西电子科技大学 6 (3)实内积空间与酉空间符合上述内积定义及其性质的所有可能的 N 维矢量构成一个 N 维复内积空间，复内积空间又称为酉空间。如果这些矢量的各个元素的值只有实部，而虚部值恒等于 0，那它们所构成的是 N 维实内积空间。内积空间属于线性空间。 (4)内积空间的范数定义一种范数来衡量内积空间中一个矢量的长度，并基于此范数定义一种失真测度来衡量该内积空间中两个矢量差异的大小，就可构成一个赋范线性空间。范数有多种形式的定义，以 pl 范数为例 || ||lp v 1 1/ [ | |] N n n p p v = ∑ (2-2-19) 当 p =1，2，∞时分别对应于：取绝对值之和、求平方和后再开平方、取最大绝对值等三种不同的范数。对应于所定义的范数，可定义相应的失真测度来衡量两个矢量之间差异的大小；例如：基于 2l 范数的失真测度为 1 2 d(, ) v v 2 1 2 || || − l vv = 1 1 2 1/2 2 [ | |] N n n n v v = ∑ − (2-2-20) 由于基于 2l 范数的失真测度的定义能满足距离测度所要求的三个条件，即非负性 1 2 d(, ) v v ≥ 0、对称性 1 2 d(, ) v v = 2 1 d(,) v v 和三角不等式 1 2 d(, ) v v + 2 3 d(,) v v ≥ 1 3 d(, ) v v 成立，因而它是一种距离测度，即欧几里德距离测度。由三角不等式还可推导出 Cauchy-Schwartz 不等式，即 1 2 | ( ), ( ) | x txt ≤ 1 2 || ( ) || .|| ( ) || x t xt 注：当 2 x ( )t = a 1 x ( )t (其中a 为任意复数)时等式成立 (2-2-21) 因此，定义了 2l 范数的 N 维实内积空间是 N 维欧氏(Euclid)距离空间。凡是定义了内积的线性空间都称为欧氏空间；欧氏空间是欧氏距离空间概念的推广，欧氏距离空间所赋予的范数是 2l 范数，采用欧氏距离衡量其空间中两点(或两矢量)的差异；一般欧氏空间可赋予其它任一种范数和相应的失真测度，因此我们应该从更一般意义上来理解多维空间中的矢量以及它们的度量。 (5)内积空间的正交基 N 维内积空间中任意 N 个相互正交的矢量{ 1 2 , ,., N ee e }，即 1 , 0 i j i j i j = = ≠ ⎧ ⎨ ⎩ e e ij N , 1, 2,., = (2-2-22) 可以构成一个正交基。如果这 N 个矢量都是单位长度的，则构成的是标准正交基。如果该空间中任意一个矢量 v都可以表示为某个正交基中 N 个正交基矢量的加权和，即 v =[ ] 1 2 . N T vv v = 1 N n n n v = ∑ e (2-2-23)

第 2 章数字通信的数学基础西安电子科技大学 7 其中 n v 是 v在第n 个基矢量 n e 上的投影，即 n v = , n ，那么这个正交基是完备的。标准正交基有无穷多种；例如采用单位矩阵 N N× I 中的 N 个列向量，就可以构成 N 维欧氏空间中一个简单而直观、且完备的标准正交基。 2.2.4 矩阵矩阵是由若干个数按行和列排列而成的二维阵列，也可以说是若干个列矢量或行矢量的组合。因此矩阵不仅可以表示多维信号，而且可以描述进行多维信号处理的线性系统。矩阵理论是多维信号处理的强有力数学工具，其主要应用是用来表示线性变换或线性映射。如矩阵 m×n 的矩阵 A 可将 Rn空间的矢量 x 映射为 Rm空间的矢量 y=Ax。矩阵的乘积可以表示两种线性变换的组合；线性方程组表示为矩阵形式非常简洁；下面简要介绍矩阵理论中一些重要内容，例如：矩阵的运算、特征值与特征矢量、对角分解和奇异值分解等。一个 M 行 N 列的矩阵 X 可表示为： 11 12 1 21 22 2 1 2 N N ij M N M M MN x x x xx x x xx x × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ X " " # ### " (2-2-24) 其中的 ij x 表示矩阵的元素，i 表示行下标， j 表示列下标。 (1)矩阵的一般运算法则数乘： ij M N c cx × = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ X (2-2-25a) 加法： ij ij M N x y × += + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ X Y (2-2-25b) 转置： 11 1 1 M T ji N M N MN x x x x x × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X " #% # " (2-2-25c) 共轭转置： * * 11 1 * * * 1 M H ji N M N MN x x x x x × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " #% # " X (2-2-25d) 相乘： [] [] M N K k ij M K ij K N ik kj XY x y x y = × × × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∑ 1 (2-2-25e) 点积： X Y• = ij M K x × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ • ij M K y × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 1 1 M K ij ij i j x y = = = ∑∑ (2-2-25f) (2) 矩阵的内积矩阵的内积有两种不同的定义方法。一种是将两个同样大小的矩阵，例如 M × N 的矩

第 2 章数字通信的数学基础西电子科技大学 8 阵 X = ij M N x × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 和Y = ij M N y × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ，看作是两个M × N 维的矢量，采用如上所述矢量内积定义的方式进行定义，即 * 1 1 , . ij M N ij i j x y = = = X Y ∑∑ (2-2-26a) 其值是一个实数或复数。另一种定义方法是，将两个行数相同的矩阵，例如 X = 1 ij M N x × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 和Y =[ ] 2 ik M N y × ，分别看成是 N1和 N2 个 M 维列矢量的集合，而将二者的内积定义为 N1 . N2 对矢量的内积，即 1 2 * 1 , . ik M ij i N N x y = × = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X Y ∑ 1 2 j Nk N = = 1, 2,., ; 1, 2,., (2-2-26b) 内积运算所得结果是一个 N1× N2 的矩阵，其中各个元素的值为实数或复数值。 (3) 矩阵的特征值与特征矢量设 A 为 N × N 的矩阵，如果存在一个非零矢量 v和某个相应的常数λ ，满足 A v =λ v (2-2-27) 那么λ 和 v分别称为 A 的特征值和特征矢量。此外，矩阵的迹等于特征值之和，矩阵的行列式值等于特征值之积，即 ( ) i i Tr A = ∑ λ det( ) i i A =∏ λ (4) 正交矩阵与正交变换正交变换： N 维欧氏空间 ( 实内积空间 ) N V 中的线性变换 T ，如果它满足 = xx x x , , T T ，则称T 为正交变换。T 为正交变换的充要条件是：对于 N V 中任意两个矢量x 和y 的变换都有= x, , y T T x y 。可以看出，正交变换具有内积不变性，而且对于标准正交矩阵 T，正交变换不改变矢量的长度及矢量间的夹角。正交矩阵：如果实数方阵Q ∈ N N R × 满足 T Q Q = N N× I 或 −1 Q = T Q ，那么Q 为正交矩阵；正交矩阵的列矢量都是两两正交的单位矢量。 (5) 酉矩阵与酉变换酉变换： N 维酉空间(复内积空间) N V 中的线性变换T ，如果满足= xx x x , , T T ，则称 T 为酉变换。 T 为酉变换的充要条件是，对于 N V 中任意两个向量 x 和 y 都有 = x, , y T T x y 。酉矩阵：如果复数方阵Q ∈ N N R × 满足 H Q Q =Q H Q = N N× I ，那么Q为酉矩阵；酉矩阵的逆也是酉矩阵，两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵

第 2 章数字通信的数学基础西电子科技大学 10 (8) 矩阵的奇异值与奇异值分解 z 矩阵的奇异值设A ∈ M N Cr × 是一个秩为非零整数r 的M × N 复数矩阵，则 H A A 为 N × N 的共轭对称矩阵，并且其秩与A 相同，即 ( ) H Rank Rank AA A = ；设 H A A 的特征值为 12 1 . . 0 λ ≥ ≥≥ > == = λ λλ λ rr N + 则称σ i i = λ ，i N = 1, 2,., 为A 奇异值。由此可见A 的奇异值个数等于列数 N ，其中非零奇异值的个数等于 RankA 。最大及最小奇异值之比称为条件数，可以用于表示矩阵 A 的奇异性，条件数越大，矩阵越接近奇异。对于对称阵，特征值等于奇异值。 z 矩阵的奇异值分解设A ∈ M N Cr × (r >0)，则存在M 阶酉矩阵U 和 N 阶酉矩阵V ，使得 H U AV = 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Σ (2-2-32a) 其中Σ =diag( 1 2 , ,., σ σ σ r )，而 1 2 , ,., σ σ σ r 为A 的非零奇异值；上式可改写为 A = U 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Σ H V (2-2-32b) 这就是 A 的奇异值分解。通过比较可以看出，特征值分解针对方阵，而奇异值分解可以对任何矩阵进行分解，二者都用于揭示矩阵或线性变换的一些重要特征。 2.2.5 连续波信号的空间表示 (1) 连续波复信号的内积空间设 1 x ( )t 和 2 x ( )t 为定义在某个区间[,] a b 上的两个能量有限的连续波复信号，二者的内积定义为 * 1 2 12 ( ), ( ) ( ) ( ) b a = t t t t dt ∫ x x xx (2-2-33a) 内积的性质与(2-2-16)式矢量内积性质的表达式完全相同。信号x( )t 的范数定义为 2l 范数，即 2 1/2 || ( ) || [ | ( ) | ] b a t t dt = ∫ x x (2-2-33b) 于是也有与前述多维酉空间中表达形式相同的三角不等式和 Cauchy-Schwartz 不等式成立： 1 2 || ( ) ( ) || x x t t + ≤ 1 2 || ( ) || || ( ) || x x t t + (2-2-34a) 12 1 2 | ( ), ( ) | || ( ) ||.|| ( ) || ≤ xx x x tt t t 注：当 2 x ( )t = a 1 x ( )t (其中a 为任意复数)时等式成立 (2-2-34b)

西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第2章 数字通信的数学基础

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