第8章数字通信中的信道编码 编码，每个码字都是一个n维矢量：q进制分组码其码字矢量的元素取值于有限域FG(q): {0,1,q-},即每个码字中的元素都是从{0,1，q-中选取的。 码率：长度n的二进制分组码有2种可能的码字，从中选择M个码字作为可用码， M=2(k<),而其余2”-2*个码为禁用码。这样k比特的一块数据经编码后映射为一个n 比特的数据块，这就是(m,k)的分组码。其码率定义为R=k/n。 码字重量：码字包含的非零元素的个数。如果全部M个码字具有相同的重量，这种码 称为恒重码。 汉明距离：任意两个码字C,和C,对应位置上元素不同的总个数，记为d。如(7,3)分 组码中的两个码字(0111010)与(0011101)的汉明距离为4。汉明距离满足三角不等式， 即若CCCk为同一码组中的不同码字，则d+d2d 线性码：设C,和C,为某(m,k)分组码的两个码字，a和a是码元字符集里任意两个元 素，若α，C+a,C,也是该码的一个码字，则这种分组码称为线性码。线性码必包含全零码： 恒重码是非线性码。 最小码距d：M个码字集合中汉明距离{d,}的最小值称为最小码距，最小码距关系 者该码字的检错与纠错能力。(n,)饯性分组码最小距离等于dm的充要条件是校验矩阵H 中任何dmml列线性无关。 零空间：(m,k)分组码构成k维空间是n维矢量空间的子空间，记为S。,其中任意k个 线性无关的矢量可构成“基底”。如果n维矢量空间S中存在另一组矢量，它们与S的基底” 都正交，则这组矢量构成的子空间称为S的零空间，其维数必定等于(-k)。零空间与(m,k) 分组码的生成矩阵G和监督矩阵H之间存在紧密联系。 检错能力：假如编码码元C通过噪声干扰信道传输，接收码元R在j个位置出现错误， 则dC,Rj。若该分组码的最小汉明距为dmm,这意味着该码组中任意两个码字至少在dmm 个位置上不同，因此dmm1或更少的错误将使R不是该码组中的码字。当接收端发现接收 码字是非法码字（非码组中的码）时，就认为检测到了错误。当错误位置大于等于dm时， 由于至少存在一对合法码字的汉明距满足dmm,因此该分组码不可能检测到所有dmm个错误， 这使得分组码的检错能力为dmml。 纠错能力：令1为满足2+1sdm≥2什2的正整数。其纠错能力为=(dmm1)2。 系统码：系统码是指其编码输出信息块中完全保留输入信息块的编码方法。编码输出 的原始信息位也叫系统位。(，k)分组码中，系统码通常指前k位为原始信息位。 根据信息码元与监督码元的函数关系，分为线性码和非线性码。 根据信息码元和监督码元之间的约束方式，分为分组码和卷积码。在分组码中，监督 西安电子科技大学 7 第 8 章 数字通信中的信道编码 西安电子科技大学 7 编码，每个码字都是一个 n 维矢量；q 进制分组码其码字矢量的元素取值于有限域 FG( q )： {0, 1, ., 1} q − ，即每个码字中的元素都是从{0, 1, ., 1} q − 中选取的。 码率：长度 n 的二进制分组码有 2n 种可能的码字，从中选择 M 个码字作为可用码， M = 2k ( ) k n < ，而其余 2 2 n k − 个码为禁用码。这样 k 比特的一块数据经编码后映射为一个 n 比特的数据块，这就是(, ) n k 的分组码。其码率定义为 / R kn c = 。 码字重量：码字包含的非零元素的个数。如果全部 M 个码字具有相同的重量，这种码 称为恒重码。 汉明距离：任意两个码字Ci 和Cj 对应位置上元素不同的总个数，记为 ij d 。如（7,3）分 组码中的两个码字（0111010）与（0011101）的汉明距离为 4。汉明距离满足三角不等式， 即若 Ci、Cj、Ck 为同一码组中的不同码字，则 dik+djk≥dij。 线性码：设Ci 和Cj 为某 (, ) n k 分组码的两个码字，α1和α 2 是码元字符集里任意两个元 素，若α1 2 C C +α j 也是该码的一个码字，则这种分组码称为线性码。线性码必包含全零码； 恒重码是非线性码。 最小码距 min d ： M 个码字集合中汉明距离{ }ij d 的最小值称为最小码距，最小码距关系 着该码字的检错与纠错能力。(n,k)线性分组码最小距离等于 dmin 的充要条件是校验矩阵 H 中任何 dmin-1 列线性无关。 零空间：(,) n k 分组码构成 k 维空间是 n 维矢量空间 S 的子空间，记为 c S ，其中任意 k 个 线性无关的矢量可构成“基底”。如果 n 维矢量空间 S 中存在另一组矢量，它们与 c S 的“基底” 都正交，则这组矢量构成的子空间称为 c S 的零空间，其维数必定等于( ) n k − 。零空间与 (, ) n k 分组码的生成矩阵 G 和监督矩阵 H 之间存在紧密联系。 检错能力：假如编码码元 C 通过噪声干扰信道传输，接收码元 R 在 j 个位置出现错误， 则 d(C,R)=j。若该分组码的最小汉明距为 dmin，这意味着该码组中任意两个码字至少在 dmin 个位置上不同，因此 dmin-1 或更少的错误将使 R 不是该码组中的码字。当接收端发现接收 码字是非法码字（非码组中的码）时，就认为检测到了错误。当错误位置大于等于 dmin时， 由于至少存在一对合法码字的汉明距满足dmin，因此该分组码不可能检测到所有dmin个错误， 这使得分组码的检错能力为 dmin-1。 纠错能力：令 t 为满足 2t+1≤dmin≥2t+2 的正整数。其纠错能力为 t=（dmin -1）/2。 系统码： 系统码是指其编码输出信息块中完全保留输入信息块的编码方法。编码输出 的原始信息位也叫系统位。（n,k）分组码中，系统码通常指前 k 位为原始信息位。 根据信息码元与监督码元的函数关系，分为线性码和非线性码。 根据信息码元和监督码元之间的约束方式，分为分组码和卷积码。在分组码中，监督