[2x1+x2-5x3+x=8, 例解方程组 X-3x2 -6x=9, 2x2-x3+2x1=-5, x+4x3-7x+6x4=0, 方程组的系数行列式 |21-51 d=1-30- =27≠0， 02-12 14-76 可以应用克兰姆法则由于 |81-51 |28-51 4=9-30-6 52-12814=90-6 0-5-12=-108 04-76 10-76 |2181 |21-58 4=1-39-6 02-52 =27, 1406 14-70 所以方程组的唯一解为x=3,2=一4，x=-1,x,=1 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于 方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组显然，齐次线性方程组总是有解的，因为 (0,0,.,0)就是一个解，它称为零解对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除去零解以外还 有没有其它解，或者说，它有没有非零解 定理5如果齐次线性方程组 a+aax+.+axn=0 a21+a2k2+.+a2nxn=0 (10) a+an22+.+=0 的系数矩阵的行列式4≠0，那么它只有零解换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有A=0 证明应用克兰姆法则，因为行列式d,中有一列为零，所以d,-0,j=1,2,.,n这就是说，它的唯 一的解是 (任g号-@0-0 例 解方程组 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 4 2 5 8, 3 6 9, 2 2 5, 4 7 6 0, x x x x x x x x x x x x x x  + − + =   − − =  − + = −    + − + = 方程组的系数行列式 2 1 5 1 1 3 0 6 27 0 0 2 1 2 1 4 7 6 d − − − = =  − − , 可以应用克兰姆法则.由于 1 8 1 5 1 9 3 0 6 81, 5 2 1 2 0 4 7 6 d − − − = = − − − 2 2 8 5 1 1 9 0 6 108, 0 5 1 2 1 0 7 6 d − − = = − − − − 3 2 1 8 1 1 3 9 6 27, 0 2 5 2 1 4 0 6 d − − = = − − 4 2 1 5 8 1 3 0 9 27, 0 2 1 5 1 4 7 0 d − − = = − − − 所以方程组的唯一解为 1 2 3 4 x x x x = = − = − = 3, 4, 1, 1. 应该注意,定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组,它只能应用于这种方程组;至于 方程组的系数行列式为零的情形,将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然, 齐次线性方程组总是有解的, 因为 (0,0, ,0) 就是一个解,它称为零解.对于齐次线性方程组,我们关心的问题常常是,它除去零解以外还 有没有其它解,或者说,它有没有非零解. 定理 5 如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = (10) 的系数矩阵的行列式 A  0 ,那么它只有零解.换句话说,如果方程组(10)有非零解,那么必有 A = 0 证明 应用克兰姆法则,因为行列式 j d 中有一列为零,所以 0, 1,2, , j d j n = = 这就是说,它的唯 一的解是 1 2 , , , , (0,0, 0). n d d d d d d   =    