方程使它们同时变成恒等式因而(3)确为方程组(1)的解。 2.设(G,G,c)是方程组(1)的一个解，于是有个n恒等式 aeb.ilo.n (7) 为了正明G一号我们取系数矩阵中第长列元素的代数余子式4,4.4用它们分别系冲n 个恒等式有4,=4,=Ln,这还是n个恒等式把它们加起来即得 立4424 (8) 等式右端等于在行列式d按第k列的展开式中把a4分别换成b,(=l,2,.,),因此它等于把行列式 d中第k列换成，b,.,b,所得的行列式，也就是d,再来看(8)的左端即 42246空月 由上节定理3中公式(7)， ∫d,当k, 246 所以 2a4= 于是即为k=d,k=12n也就是-k=12.,n这就是说如果(，G.c,)是方 程组的一个解，它必为 (任经别 因而方程组最多有一组解 定理4通常称为克兰姆法则。根据定理 3 中(6),有 1 1 1 1 . n n ij sj s i i s j a A b db b d d = =     =  =     这与第 i 个方程的右端一致.换句话说,把(3)代入 方程使它们同时变成恒等式,因而(3)确为方程组(1)的解. 2. 设 1 2 ( , , ) n c c c 是方程组(1)的一个解,于是有个 n 恒等式 1 , 1, , n ij j i j a c b i n =  = = (7) 为了证明 k k d c d = ,我们取系数矩阵中第 k 列元素的代数余子式 1 2 , , A A A k k nk ,用它们分别乘(7)中 n 个恒等式,有 1 , 1, , n ik ij j i ik j A a c b A i n =  = = ,这还是 n 个恒等式.把它们加起来,即得 1 n ik i A =  1 n ij j j a c =  1 n i ik i b A = =  (8) 等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展开式中把 ik a 分别换成 ( 1,2, , ) i b i n = ,因此,它等于把行列式 d 中第 k 列换成 1 2 , , , n b b b 所得的行列式,也就是 k d 再来看(8)的左端.即 1 n ik i A =  1 n ij j j a c =  1 1 n n ij ik j i j a A c = = = 1 1 n n ij ik j j i a A c = = = 1 1 . n n ij ik j j i a A c = =   =       由上节定理 3 中公式(7), 1 , 0, n ij ik i d a A =  =     当j=k, 当j k. 所以 1 1 . n n ij ik j k j i a A c dc = =   =       于是,(8)即为 , 1,2, , . k k dc d k n = = 也就是 , 1, 2, , k k d c k n d = = 这就是说,如果 1 2 ( , , ) n c c c 是方 程组的一个解,它必为 1 2 , , , , n d d d d d d       (9) 因而方程组最多有一组解. 定理 4 通常称为克兰姆法则