第六章参数估计 、主要内容 1.参数点估计的概念,求参数点估计的两种方法:矩估计和最大似然估计方法 2.估计量的优良性准则(无偏性、有效性、一致性),验证估计量的无偏性,一致性的方法; 3.区间估计的概念,一个正态总体的均值与方差的置 信区间和两个正态总体均值差与方差比的置信区间 二、典型例题 1.设总体X的分布函数为 1 F(x;1,2) ,x≥;其中参数B1>0已知 0,x<O1,O2>1知 x1,x2,…,xn是来自该总体的样本值。求未知参数62的最大似然估计和矩估 「解]总体X的分布密度函数为 x≥ f(xB1,62)=F(x:1,62) 0.x<b (1)似然函数为 L=∏f(x:202)= 040n2 又lnL=nlna2+n2n-(1+a2)∑hnx 得似然方程 dIn n d0,, n-∑lnx 解得 nx-nlne∑(lnx-lne) 是唯一驻点。又之2lnL_n<0,所以的2是B2最大似然估计。 (dO2)22 第一步E(X) O,2第六章 参数估计 一、主要内容 1．参数点估计的概念，求参数点估计的两种方法：矩估计和最大似然估计方法； 2．估计量的优良性准则（无偏性、有效性、一致性），验证估计量的无偏性，一致性的方法； 3．区间估计的概念，一个正态总体的均值与方差的置 信区间和两个正态总体均值差与方差比的置信区间。 二、典型例题 1．设总体 X 的分布函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > ⎟ ≥ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ， 未知 其中参数 已知 0 , 1 1 , ; 0 ( ; , ) 1 2 1 1 1 1 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ x x F x x x x xn , , , 1 2 " 是来自该总体的样本值。求未知参数θ 2 的最大似然估计和矩估计。 [解] 总体 X 的分布密度函数为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = = − + 1 1; ( 1) 2 1 1 2 1 2 0, , ( ; , ) '( ; , ) 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ x x x f x F x （1）似然函数为 1; 1 (1 ) 2 1 ( 1) 1 1 2 1 1 2 ( ; , ) , 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = ∏ = ∏ = ∏ ≥ = − + − + = = i n i i n n i n i n i i L f x x x x 又 ∑= = + − + n i i L n n x 1 2 2 1 2 ln lnθ θ lnθ (1 θ ) ln 得似然方程 ln 0 ln 1 1 2 2 = + −∑ = = n i i n x n d d L θ θ θ 解得 ∑ ∑ = = − = − = n i i n i i x n x n n 1 1 1 1 2 ln ln (ln ln ) ˆ θ θ θ 是唯一驻点。又因为 0 ( ) ln 2 2 2 2 2 = − < θ θ n d d L ，所以 2 是ˆθ θ2 最大似然估计。 （2）第一步 E X x x dx ( 1) 2 1 2 1 2 ( ) − + +∞ ∫ = θ θ θ θ θ 4