第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 65 1 0G1 0G2 1 0G3 un=h a" xhyh a (17) 类似地，若微分矢移dT只沿u2或u3方向，则可得到2和，其一般式即为式(14)。利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系，如表1所示。 表1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系（仅提供变换矩阵） 曲线坐标系 两者坐标间的关系 单位矢量间的变换矩阵M (1,u2,u3) (文献G]) x=rcosp 圆柱坐标系 cosp sinpo y=rsin sinp cosp 0 (,9z) 2=2 0 x=Rsinecosp sinecosp sin0s inp 圆球坐标系 cos0 y=Rsinesinp cosecosp coses in.sin (R,0,9 z=Rcose -sinp cos 0 2 sinhEcosn 2 coshEsinn x=pcoshEcosn cosh2g-cos2n cosh2. cos2n 椭圆柱坐标系 y=psinhsinn (n,z) J2 coshEsin” J2 s inhcos” 0 z=2 cosh2E·cos20 cosh2Ecos2h 0 0 1 0 抛物柱坐标系 x=5.9) 0 (℃单2) y=q y 2=2 0 0+VF 电小1·型 x ap +w +W J G+w 旋转抛物柱面坐标系 y=ψJ1.9 (℃中，9 」1.平 2=25.9) JG+取 JG+e 0 x= asinh 1·cos0 cosh sin0s inh 双极坐标系 cosh-cos0 coshξ·cos0 coshξ·cosθ -sines inh cos0 cosh· (5,0,z) y= cosh-cos cosh-cosθ 0 coshξcosd z 注：因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂，无法包括 在表中，故被略去。 2.2两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中p点的坐标仍为(，2，)，度量因子为，h2,h;另一种正交 曲线坐标系中p点的坐标为(u',u'2,'),度量因子为h',h',h',两正交曲线坐标系中各坐υ δ t € t ηt 5Γt 5υt ξ δ n t ηt 5Γu 5υt ψ δ n t ηt 5Γv 5υt ζ δ ktzl 类似地o若微分矢移 δ λϕ只沿 υu 或 υv 方向o则可得到 υ δ u 和 υ δ vo其一般式即为式ktwl∀ 利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系o如表 t 所示∀ 表 t 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυtoυuoυvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 Μ 圆柱坐标系 kρoΥoζl ξ € ρ¦²¶Υ ψ € ρ¶¬±Υ ζ € ζ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ξ € Ρ ¶¬±Η¦²¶Υ ψ € Ρ ¶¬±Η¶¬±Υ ζ € Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s 椭圆柱坐标系 kΝoΓoζl ξ € 𦲶«Ν¦²¶Γ ψ € 𠶬±«Ν¶¬±Γ ζ € ζ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s p u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s s st 抛物柱坐标系 kΦoΩoζl ξ € t u kΦu p Ωu l ψ € ΦΩ ζ € ζ t Φu n Ωu Φ Ω s p Ω Φ s s s Φu n Ωu 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ξ € ΦΩΥ ψ € ΦΩ t p Υu ζ € t u kΦu p Ωu l ΩΥ Φu n Ωu Ω t p Υu Φu n Ωu Φ Φu n Ωu ΦΥ Φu n Ωu Φ t p Υu Φu n Ωu p Ω Φu n Ωu t p Υu p Υ s 双极坐标系 kΝoΗoζl ξ € ᶬ±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ψ € ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ζ € ζ tp ¦²¶Η¦²¶«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶«Νp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s s st 注}因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂o无法包括 在表中o故被略去∀ 2q2 两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标仍为kυtoυuoυvlo度量因子为 ηtoηuoηv~另一种正交 曲线坐标系中 π 点的坐标为kυχtoυχuoυχvlo度量因子为 ηχtoηχuoηχvo两正交曲线坐标系中各坐 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yx