第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 892 Overbounding及其保守性 本节将以一个例子说明如何通过 Over bounding方法化F(s,b)的鲁棒稳定性问题为区间多项式族的 鲁棒稳定性问题,并指出这种方法的保守性 例91考查图1.g中的余统,其中 P(s,6)= 2] 82+[2488,17.512]s+[8488,24512] C(s)=(38+2)(s+5) 按照前面的定义,标称对象为 P0(s) 容易证明,标称闭环糸统的特征多项式为∫(s)=s3+18s2+73s+85.5,其根为-12.8294,-2.7245,-2.461 从而C(s)镇定P(s).闲环亲统的特征多项式为 (s,6)=fo(s)+(40.066D,0+14.0246N,)+(37.566,1+8.0126D,0+21.0366N,)8+7.5126D,1s2(9.5) 二ba 其中δ=[6D6D,16No],‖|6‖。≤1.由(9.5)得 40.0600 014.02406D0 6a1=8.012037.560021.03606D (9.6) 07.5120 ON 当δ;都取-1时,a;取最小值;而当6;都取+1时,δα;取最大值。然而,由于α;必须满足 (9.0),它们不能独立地在各自的最小值和最大值之问取值。所以,F(s,6)不是区间多项式族。在3维 空间[6D。6D,16x0]中,‖‖≤1是由6个平面6D,=±1,6D,=±1和6N0=±1所界定 正方体的内部。由于[aoam1a]'和 &ao Sa16a之间是线性变换的关亲,在3维空间中, 6N,d]位于平 0.0288-0.0192009606a 0.00000.00000.1331 0.01100.0549-0.2743 0.0288-0.01920.0960 0.00000.00000.1331 (9.8) 0.01100.0549-0.2743 所界定的平行多面体内,而该区域是8维长方体 54.0840 54.084 7.5120 上述分析表明,对于系数不是相互独立的多项式族,可以通过oeυ ounding的办法把它的糸数所在 的区域嵌入一个立方体内。这样儆势必带来保守性。为使保守性减至最小,应寻找最小的超立方体。对于 我们正在研究的例子来说,(9.9)式中的盒子就是包含以(9.7和(9.8)式中6个平面为表面的平行6面 体的最小立方体。相应地,可以考察区问多项式族 (s,8)=f0(s)+54.08460+660818+7127232,同」1✡ ☛ ☛ ☞✄✌✁✍✏✎✄✑✞✒✄✓✁✔✖✕✄✗✖✘✚✙✚✛✢✜✤✣✢✥✄✦✄✧ ★✪✩✬✫ ✭✯✮✱✰✳✲✵✴✶✸✷✺✹✼✻✼✽✼✾ ✻✬✿✖❀❂❁✆❃❅❄✆❆ ❇✢❈✢❉❋❊✁●✄❍✢■✢❏✢❑✆▲✱▼✢◆✢❖✢P❘◗✼❙❚ ❯❱✪❲❳❨❩❬❨❭❫❪✢❴✢❵❜❛❞❝ ❡ ❢ ❣✪❤❥✐✁❦✢❧✤♠✢♥✄♦❋♣✚q✤r✖s✢t✁✉✄✈✢✇✢①✖✐ ❦✄❧✢♠✄♥✁♦✖♣✱q✖②✞③✤④✤⑤✚⑥✄⑦✢❪✄❴✖✐✁⑧✢⑨✄♦✤⑩ ❶❸❷❺❹ ❻✖❼✄❽✤❾➀❿ ➁ ➂✞➃✚➄❋➅➇➆✄②✚➈✖➃ ➉ ❝ ❡ ❢ ❣✪❤✺➊ ❡✺➋✢➌➍✼➎ ➏ ➎ ✡ ➐ ❢ ☛ ➏ ➎ ✡ ➐ ➑ ❡ ➒✳➋✄➌ ➐ ➏ ➓ ☛ ☛ ❢ ✡ ➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➑ ❡✵➋✢➌ ☛ ➏ ➓ ☛ ☛ ❢ ➐ ➓ ➏ ➎ ✡ ➐ ➑ ❢➣→❫❝ ❡ ❤✺➊✤❝ ↔ ❡✺➋ ➐ ❤ ↕ ❝ ❡✺➋✁➎ ❤✪➏ ➙✖➛✁➜✤➝ ➄✱➞✢➟✤②✞➠✤➡✢➢✢➤✢➥ ➦✵➧ ❝ ❡ ❤✺➊ ❡✺➋ ✡ ➏ ➎ ❡ ➒✺➋ ✡ ➨ ❡✺➋ ✡ ➩ ➏ ➎ ➏ ➫❋➭✞➯✖➲ ②➳➠✢➡✖➵✱➸❂➅➇➆✢➄✚➺✄➻✖➼✚➽✢➾✄➥➪➚➧ ❝ ❡ ❤✺➊✢❡ ➶✪➋ ✡ ☛ ❡ ➒ ➋ ➔ ↔ ❡ ➋ ☛ ➎ ➏ ➎ ➹✪➈✚➘✖➥➀➍ ✡ ➐ ➏ ☛ ➐ ➴ ➓ ❢ ➍ ➐ ➏ ➔ ➐ ➓ ➎ ❢ ➍ ➐ ➏ ➓➓ ➩ ✡ ➁ ➷✖➬ →❫❝ ❡ ❤✼➮✁➞ ➦✵➧ ❝ ❡ ❤ ➁✼➵✱➸❂➅➇➆✢➄✚➺✄➻❋➼✁➽✢➾✢➥ ❛❞❝ ❡ ❢ ❣ ❤✺➊✢➚➧ ❝ ❡ ❤✵➋✁❝ ➓ ➨ ➏ ➨ ➩ ➱✃✳❐ ➧ ➋ ✡ ➓ ➏ ➨ ➐ ➓➱❒✺❐ ➧ ❤ ❮ ❰Ï Ð Ñ Ò✪Ó Ô Õ ➋✱❝ ↔ ➔ ➏ ➎ ➩ ➱✃✳❐ Ö ➋ ☛ ➏ ➨ ✡ ➐ ➱✃✳❐ ➧ ➋ ➐ ✡ ➏ ➨ ↔ ➩ ➱❒✺❐ ➧ ❤ ❮ ❰Ï Ð Ñ Ò✪Ó Ô✪× ❡✳➋ ➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➱✃✳❐ Ö ❮ ❰Ï Ð Ñ Ò✪Ó Ô Ø ❡ ➒ ❝ ➴ Ù ➎ ❤ ➈✖➃Ú❣Û➊✖➌➱✃✳❐ ➧✆➱✃✳❐ Ö❋➱❒✺❐ ➧ ➑ Ü ➹✳Ý ❣❺Ý Þ❋ß ✡ ➁❥àâáã ➁ äå❫æ çè è é ➱ ê➳➧ ➱ ê✳Ö ➱ ê ➒ ëì ì í ➊ çè è é ➓ ➨ ➏ ➨ ➩ ➨ ➨ ➨î✡ ➓ ➏ ➨ ➐ ➓ ➨ ☛ ➏ ➨ ✡ ➐ ➨ ↔ ➔ ➏ ➎ ➩ ➨ ➨ï➐ ✡ ➏ ➨ ↔ ➩ ➨ ➨ð➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➨ ➨ ëì ì í çè è é ➱✃✳❐ ➧ ➱✃✳❐ Ö ➱❒✺❐ ➧ ëì ì í ❝ ➴ Ù ➩ ❤ ñ ➱ò❞ó✢ô ➍ ✡✁õ ② ➱ ê❺ö✱ô✖÷✖ø✢ù✤ú ➬ ñ ➱òûó✢ô ➋ ✡✚õ ② ➱ ê❺ö✱ô✖÷✤ü✤ù ⑩✁ý ➬ ②✢à✄þ ➱ ê❺ö✚ÿ✁￾✄✂✆☎ áã ➁ ✝å ➹✟✞✡✠✁☛✌☞✌✍✌✎✌✏✌✑✌✒✔✓➇➄ ÷✤ø✢ù✄✕✄÷✤ü✢ù✆✖✘✗✱ô✤ù ⑩✚✙✁✛✄②ï❛❞❝ ❡ ❢ ❣✵❤✜☛✆✢✤✣ ✗ ➼✁➽✤➾✡✥✤⑩✚✑✧✦✩★ ✪ ✗ ➌➱✃✳❐ ➧❸➱✃✳❐ Ö❜➱❒✺❐ ➧ ➑ Ü ➃✚② Ý ❣❺Ý Þ❜ß ✡ ✢✆à✫✝✭✬✄✮ ➝ ➱✃✳❐ ➧ ➊✰✯ ✡ ➹ ➱✃✳❐ Ö ➊✰✯ ✡✩✕ ➱❒✺❐ ➧ ➊✰✯ ✡ ✙✡✱✢➞ ➄✡✲✄✳✆✴✖➄✶✵✸✷✤⑩✢à✄þ➣➌ ➱ ê➳➧✆➱ ê✳Ö✖➱ ê ➒ ➑ Ü ✕ ➌➱ ê➳➧✆➱ ê✳Ö✖➱ ê ➒ ➑ Ü ✖✤✗ ✢✄✹✆✺✁✻✡✼❋➄✄✽❋➅✱②✚✑✾✦✚★ ✪ ✗ ➃✚② ➌➱✃✳❐ ➧✆➱✃✳❐ Ö❋➱❒✺❐ ➧ ➑ Ü✚✿✖þ✚✮ ➝ çè è é ➨ ➏ ➨ ➐ ☛ ☛ ➍ ➨ ➏ ➨ ✡ ➴ ➐ ➨ ➏ ➨ ➴ ➩ ➨ ➨ ➏ ➨ ➨ ➨ ➨ ➨ ➏ ➨ ➨ ➨ ➨ ➨ ➏ ✡ ↔ ↔ ✡ ➍ ➨ ➏ ➨ ✡ ✡ ➨ ➨ ➏ ➨ ➎ ➓ ➴ ➍ ➨ ➏ ➐ ➔➓ ↔ ëì ì í çè è é ➱ ê➳➧ ➱ ê✳Ö ➱ ê ➒ ëì ì í ➊ çè è é ➍ ✡ ➍ ✡ ➍ ✡ ëì ì í ❝ ➴ Ù ➔ ❤ ✕ çè è é ➨ ➏ ➨ ➐ ☛ ☛ ➍ ➨ ➏ ➨ ✡ ➴ ➐ ➨ ➏ ➨ ➴ ➩ ➨ ➨ ➏ ➨ ➨ ➨ ➨ ➨ ➏ ➨ ➨ ➨ ➨ ➨ ➏ ✡ ↔ ↔ ✡ ➍ ➨ ➏ ➨ ✡ ✡ ➨ ➨ ➏ ➨ ➎ ➓ ➴ ➍ ➨ ➏ ➐ ➔➓ ↔ ëì ì í çè è é ➱ ê➳➧ ➱ ê✳Ö ➱ ê ➒ ëì ì í ➊ çè è é ✡ ✡ ✡ ëì ì í ❝ ➴ Ù ☛ ❤ ✙✚✱✄➞✖➄✚✮✆❀✖➼ ➝ ✴✘✵✱② ➬✡❁ ✣❃❂✄✢❄✦✭★✆❅✆✳✡✴ çè è é ➍✼➎ ➓ ➏ ➨ ☛ ➓ ➨ ➍ ➩ ➩ ➏ ➩ ➨ ☛ ➨ ➍ ➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➨ ëì ì í ß çè è é ➱ ê➳➧ ➱ ê✳Ö ➱ ê ➒ ëì ì í ß çè è é ➎ ➓ ➏ ➨ ☛ ➓ ➨ ➩ ➩ ➏ ➩ ➨ ☛ ➨ ➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➨ ëì ì í ❝ ➴ Ù ➴ ❤ ➄✡❆✚✬✄❇✆❈✄⑩ ❉✌❊✌❋✌●✌❍ ➲ ②✚➢✤þ✆➅❃■✁☛✡✢✌❏✄❑✌✍✌✎✤➄✤➼✁➽✤➾✡✥✤②✚▲✁✛✡▼✡◆✧❖ P ◗ ❘ ❙❖❚❯❲❱❳❯❨û➄✆❩✌❬✆❭✁✞✢➄✆➅❃■✄✙✌✑ ➄✄✣❃❂✄❪✡❫✌❆✚✬✄✎✆✳✆✴✤✵✱⑩✭❴✆❵✆❛✁❜ ÿ✁❝✆❞✩❡✶❢✺✤⑩✞➥✚❣❡✶❢✺✄❤✆✐ ÷✤ø ②✭❥✄❦✆❧÷✤ø ➄✡♠✌✎✆✳✆✴✢⑩➇➢✢þ ♥✡✠✆✲✌✑✚♦✶♣✄➄✩q✁❇ ❞✡r②ïáã ➁ ãå➇➾✤➃✚➄✚s✌❇✡t✆✢✘✉✭✈✤✛❜áã ➁ ✇å ✕ áã ➁ ①åÛ➾✤➃②✝③✬✌✮ ➝ ➥ ❍ ➝ ➄✡✮✆❀④✝ ➝ ✴✤➄ ÷✢ø ✎✆✳✡✴✤⑩✩❏✌❥✌✏✢②✚▲✄✛✄❼✡⑤✶✣ ✗ ➼✁➽✢➾✡✥ ❛❞❝ ❡ ❢ ❣ ❤✺➊✄➚➧ ❝ ❡ ❤✵➋✁➎ ➓ ➏ ➨ ☛ ➓➱➧ ➋ ➩ ➩ ➏ ➩ ➨ ☛ ➱ Ö ❡✳➋ ➔ ➏ ➎ ✡ ➐ ➱ ➒ ❡ ➒ ❢⑦⑥ ➱ ò ⑥ ß ✡