例2:圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间? 解:从物理学知道,当桶内水位高度为h-x时,水从孔中流出的速度为 v=√2g(h-x)(其中g为重力加速度) 设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 tR dx=viraat 从而有 R dx,x∈[0,h] g(h-x R 所以流完一桶水所需时间可写为“积分”t dx r2√2g(h-x 但是因为这里的被积函数是[0,h)上的无界函数,故 R 2 R 2hR dx= lim g vg例2：圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x 时，水从孔中流出的速度为 v = 2g(h − x) (其中g为重力加速度） 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 , [ 0, ] 2 ( ) 2 2 2 2 dx x h r g h x R dt R dx v r dt  − = = 从而有   所以流完一桶水所需时间可写为“积分”  − = h dx r g h x R t 0 2 2 2 ( ) 但是因为这里的被积函数是[ 0 , h )上的无界函数，故 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 lim 2 ( ) lim       =  − − =  − = → −  → − r R g h h h u r R g dx r g h x R t u h u u h