而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3。数学作为思维的训练 自古 以来就将数学作为“智力的磨刀石 ,认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18世纪拿破仑的军事胜利，到20世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竞什么是逻辑思维？是否存在思维的训练？数学又是否是其 中的一种？甚至是最好的 一种？这些都是很难回答的问题。因为无人能证明， 个好的数学家在其他科学领域中 也必然会 很 高的成就 也 知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同 个人？ (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人 (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人？ (4④)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意=1,2,3， 下列断言成立 如果 座房子中有n条腿的桌子 那里就没有多于n条腿的桌 子.问以下命题是否成立？对n=1,2,3“,如果一座房子中有n条腿的桌子， 那里就没有少于n条腿的桌子 (⑤)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同？ 试验结果的事实证明， 受过数学教育以后， 对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4.数学作为筛选的工具 长久以夹 在各种领域内，都将数学作为一种选择方法 不仅是科学 技术、 医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问存在着。每个新部坚信，准的新学学得，那他在其他绿 域中通常也学得好；事实是谁也不知道， 如果他 未学过数学 是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要， 也有名种不同的层次 们 必须通过形形色色的入场考试，即使社 但社会总是要 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工， 因此筛选工具是必须的，考 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一 个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了。 而不是将数学成为供奉于殿堂之上、脱离现实而保持其神圣不对侵犯的演绎体 系形式，这是完全不符合当前社会的迫切需要的。 3．数学作为思维的训练 自古以来就将数学作为“智力的磨刀石”，认为对所有的人而言，数学 都是一种不可缺少的思维训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。从 18 世纪拿破仑的军事胜利，到 20 世纪苏联的卫星上天，似乎都证明了这个结论。 严格说来，究竟什么是逻辑思维?是否存在思维的训练?数学又是否是其 中的一种?甚至是最好的一种?这些都是很难回答的问题。因为无人能证明，一 个好的数学家在其他科学领域中也必然会有很高的成就，也不知道数学天才是 否是一般天才所必须具备的特征；同样也无法使人相信，数学家的超人智力完 全是由数学所决定的，因为谁也不知道，如果数学家不学数学而去学其他东西， 又会有什么样的结果。 弗赖登塔尔多次给大学数学、物理系一、二年级的学生以及中学生提出 以下问题： (1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人? (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一个人? (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一个诗人，他们是否同 一个人? (4)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子，对任意 n＝1，2，3，.， 下列断言成立：如果一座房子中有 n 条腿的桌子，那里就没有多于 n 条腿的桌 子．问以下命题是否成立?对 n＝l，2，3.，如果一座房子中有 n 条腿的桌子， 那里就没有少于 n 条腿的桌子． (5)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮子里是否一 定有两件物体，它们的颜色和形状都不相同? 试验结果的事实证明，受过数学教育以后，对上述问题的看法、理解与 回答，都有很大长进，可见，数学教育与逻辑思维还是有着一定的联系。问题 在于，如何找出它们之间的本质联系以及内在规律，这也许需要从心理学、认 识论的角度，对此作更进一步的探讨。 4．数学作为筛选的工具 长久以来，在各种领域内，都将数学作为一种选择方法，不仅是科学、 技术、医学的学生，要通过这个考验，甚至对大多数人文学科的学生，也有一 定的数学要求；于是数学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因 为人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与才能，它比其他学 科，甚至比智力测验更可信，更容易使用。 同样的问题存在着。每个教师都坚信：谁的数学学得好，那他在其他领 域中通常也学得好；事实是谁也不知道，如果他从未学过数学，是否其他领域 就一定学不好。这和前面提到的数学作为思维的训练，遇到了同样的困难。 特别成问题的是，这种筛选工具的作用，进一步又发展成为数学教育的 目的似乎就是为了考试，还不仅是数学，其他科目也处在同样的危险之中，那 就是为了考试而教学。社会本有各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们 必须通过形形色色的入场考试，即使社会差异会逐渐消失，但社会总是要对它 的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工，因此筛选工具是必须的，考试 也是必要的，但如果说学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给 分宽严之间进行一个最佳选择，那就与数学教育的目的相距太远了