控制原理电子教 8.1.2输出反馈 设被控对象的状态空间表达式为式(8.1),被控系统的控制信号为 (8.5) 于是 u=r+ H(Cx+Du)=r+ HCx+ HDu (-HD)u=r+ HCx u=(-HD)-(r+HCx) 代入被控对象的状态空间表达式(8.1),得 x= Ax+b(r-HD)"(r+ HCx) +B(I-HD)HCF+ B(I-HD)"r (8.6a) y=Cx+D(I-HD +D(-HD)-HC hr+D( (-HD)r 式(8.6a)就是输出反馈系统状态空间表达式。当D=0时,有 x=(A+BHC)x+ Br 输出反馈的闭环传递函数阵为 GH(s)=C(s/-A-BHC)-B (8.7) 8.1.3状态反馈系统的能控性与能观性 1.状态反馈系统的能控性 定理:多变量线性系统(定常的或时变的)∑0={A,B,C},在任何形如 l()=r()+k()x)的状态反馈下,状态反馈闭环系统∑x={4+BK,B,C}完 全能控的充要条件是被控对象∑。={A,B,C}完全能控 证明:充分性证明,即若Σ。能控,则∑κ就能控。 令x和x1是状态空间中的任意两个状态,据Σ0能控的假定,必存在能将 xo在有限时间内转移到x1的输入l。现在对于∑k,若选r=a+Kx,则输入r 也能将x转移到x1,因此断定Σk也能控。充分性得证。 必要性证明,即若Σ。不能控,则Σκ也不能控 由结构图8.2可见,输入r不直接控制x,而必须通过产生控制信号u来 控制x,因此,若u不能控制x,则r也不能控制x,换言之,若∑。不能控, 则∑κ也不能控。必要性得证 注意到上述证明过程没有用到单变量和定常的条件,所以,上述定理对于 多变量时变系统也是合适的。 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 8.1.2 输出反馈 A x y 图8.3 多输入系统的输出反馈 ∫ r u B C D H x& 设被控对象的状态空间表达式为式(8.1)，被控系统的控制信号为 u = r + Hy (8.5) 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 u I HD r HCx I HD u r HCx u r H Cx Du r HCx HDu = − + − = + = + + = + + − 代入被控对象的状态空间表达式(8.1)，得 (8.6a) [ ] [ ] C D I HD HC x D I HD r y Cx D I HD r HCx A B I HD HC x B I HD r x Ax B I HD r HCx 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − = + − + − = + − + = + − + − & = + − + 式(8.6a)就是输出反馈系统状态空间表达式。当 D = 0 时，有 (8.6b) y Cx x A BHC x Br = & = ( + ) + 输出反馈的闭环传递函数阵为 GH s C sI A BHC B (8.7) 1 ( ) ( ) − = − − 8.1.3 状态反馈系统的能控性与能观性 1.状态反馈系统的能控性 定理：多变量线性系统（定常的或时变的）∑0 = {A, B,C}，在任何形如 u(t) = r(t) + K(t)x(t) 的状态反馈下，状态反馈闭环系统 ∑K = {A + BK, B,C}完 全能控的充要条件是被控对象 ∑0 = {A, B,C}完全能控。 证明：充分性证明，即若 ∑0 能控，则 ∑K 就能控。 令 x0 和 x1 是状态空间中的任意两个状态，据 ∑0 能控的假定，必存在能将 x0 在有限时间内转移到 x1 的输入u 。现在对于 ∑K ，若选 r = u + Kx ，则输入 r 也能将 x 转移到 ，因此断定 也能控。充分性得证。 0 x1 ∑K 必要性证明，即若 ∑0 不能控，则 ∑K 也不能控。 由结构图 8.2 可见，输入 r 不直接控制 x ，而必须通过产生控制信号u 来 控制 x ，因此，若u 不能控制 x ，则 r 也不能控制 x ，换言之，若 ∑0 不能控， 则 ∑K 也不能控。必要性得证。 注意到上述证明过程没有用到单变量和定常的条件，所以，上述定理对于 多变量时变系统也是合适的。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所