充分性:考虑线性方程组 ax+2by=-30 bx +2cy=-3a -36 将方程组(*)的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,方程组(*)等价于方程组 +2by=-3 **) bx+2cv=-3a 26 因为 2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2 a2+b2+(a+b)21≠0 故方程组(**)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线l1,l2,l3交于一点 【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转 化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点 完全类似例题见《数学最后冲刺》P196【例5】 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装 有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望 (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 【分析】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率,再按定义求数学期 望即可:而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率,涉及到两次试验,是典型的用全概率公 式的情形,第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组 【详解】(1)X的可能取值为0,1,2,3,X的概率分布为 PIX=k= k=0,1,2,3 因此 +2×-+3 (2)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于{X=0},{X=1},{X=2}, X=3}构成完备事件组,因此根据全概率公式,有 P(A)=∑P{X=kPAX=k18 充分性：考虑线性方程组      + = − + = − + = − 2 3 , 2 3 , 2 3 , cx ay b bx cy a ax by c (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由 a+b+c=0 可知，方程组(*)等价于方程组    + = − + = − 2 3 . 2 3 , bx cy a ax by c (* *) 因为 2( ) 2[ ( ) ] 2 2 2 2 ac b a a b b b c a b = − = − + + =-[ ( ) ] 0 2 2 2 a + b + a + b  , 故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线 1 2 3 l ,l ,l 交于一点. 【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转 化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例 5】. 十一 、（本题满分 10 分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析】 乙箱中可能的次品件数为 0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期 望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公 式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组. 【详解】 (1) X 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为 3 6 3 3 3 { } C C C P X k k −k = = ， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 P 20 1 20 9 20 9 20 1 因此 . 2 3 20 1 3 20 9 2 20 9 1 20 1 EX = 0 +  +  +  = (2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于 {X = 0}，{X = 1}，{X = 2}， {X = 3} 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 = = = = 3 0 ( ) { } { } k P A P X k P A X k