第5期 王辉，等：曲线拟合的逆向云改进算法 ·591 概念，也就是一个定性概念数字特征的还原3。在 E 这一个过程中误差是不可避免的，因此算法的关键是 Drop(x4) FCG 构造一个相对准确的逆向云发生器。其中文献[7]中 提出了基本的逆向云发生器，但这种算法的误差较 大[)。罗自强等提出了曲线拟合的逆向云发生器，结 图1正向云发生器 果的精度有所提高，但是拟合初值的选取影响结果的 Fig.1 Forward cloud generator 稳定性)。本文针对曲线拟合逆向云算法中参数不 正向云发生器的算法描述如下。 规律跳变、误差较大的现象，提出了一种优化设计方 输入：定性概念A~的数字特征E,E,H。以 案，并通过仿真验证其有效性。 及云滴个数N。 1 云模型理论 输出：N个云滴的定量数值和云滴的确定度。 算法步骤： 设U是一个用精确数值表示的定量论域，C是 1)以E,为期望，H。为标准差生成一正态随机 U上的定性概念，若定量值x∈U,且x是定性概念 数En'; C的一次随机实现，x对C的确定度(x)∈[0,1] 2)以期望为E,,标准差为E,'生成一正态随 是有稳定倾向的随机数，则x在论域U上的分布称 为云，每一个x称为一个云滴。 机数x; -5,)2 云模型的数字特征：期望E、熵E,和超熵H。, 3)计算：y=e2B2; 这3个数字反映了定性概念的定量特征。 4)x就称为一个云滴，表达定性概念A~的一 期望E:最能够表示定性概念的某些点。与 次具体量化；y称作x属于定性概念A~的确定度： E距离越近，云滴集中性越好，反映人们对定性概 5)重复1)~4)，直至生成N个云滴。 念的认知比较统一：与E距离越远，云滴相对分散， 逆向云发生器将一定量的样本转换为用数字特 反映人们对概念认知越不稳定，不统一。 征表示的定性概念，也就是一个定性概念数字特征 熵E。:定性概念不确定性的度量。E。表达定性 的还原过程，在这个过程中不可避免地会有误差产 概念的亦此亦彼性，反映了云滴在论域空间被接受 生，因此人类认知过程的关键在于构造一个相对准 的区域范围，也就是模糊度量；E。还反映云滴出现 确的逆向云发生器[3】 的随机性，代表云滴的离散度：同时嫡也反映模糊性 和随机性之间关联性。一般来说，嫡的取值越大，表 2基于曲线拟合的逆向云改进算法 示概念越宏观，模糊性和随机性也就越大，对概念的 逆向云发生器(backward cloud generator,BCG) 确定性表达就比较困难。 是从定量到定性的映射，它将一定数量的精确数值 超嫡H。:定性概念熵的不确定性表示，即嫡的 有效转换为以数字特征C(E,En,H。)表示的定性 嫡。由嫡的模糊性和随机性共同决定。 概念，实现定量数值与定性概念之间不确定性的转 由以上定义可知，论域中的值表示的定性概念 换和定性概念的外延到内涵转换的过程。逆向云发 的确定度不是恒定不变的，而是在细小变化着的。 生器如图2所示。 但这种细小的变化并不影响云模型的整体特征，对 E. 云来说，重点在于研究云的整体形状反映出的不确 Drop(x) BCG E 定性概念的特征，以及云滴大量出现时确定度值呈 现的规律性[91o]。 H 云模型中最重要的算法是正向云发生器和逆向 图2逆向云发生器 云发生器。由数字特征C(E,En,H)生成特定定 Fig.2 Backward cloud generator 量数据的算法，称为正向云发生器(forward cloud 依据统计原理，如果给定的样本点越多，则逆向 generator),用FCG表示，如图l。云模型既不是一 云算法得到的参数估计误差越小。无论采用什么算 条清晰的隶属度曲线，也不是一个确定的概率密度 法，在样本点数量有限的情况下，误差不可避免。 函数。而云模型是由两次串接的正态发生器生成的 下面讨论正态云(X,Y)的期望特性曲线。 许多云滴所组成，不仅是一对多的泛正态数学映射 当x:是一维时，正态云(X,Y)是二维随机变 图像，而且是一朵可以伸缩、无确定边缘的云图，并 量，其联合概率密度函数为 具有定量和定性之间的转换的功能。 f.r(x,y)=fy(y)fx(xI Y=y)=概念，也就是一个定性概念数字特征的还原［３⁃６］ 。 在 这一个过程中误差是不可避免的，因此算法的关键是 构造一个相对准确的逆向云发生器。 其中文献［７］中 提出了基本的逆向云发生器，但这种算法的误差较 大［７］ 。 罗自强等提出了曲线拟合的逆向云发生器，结 果的精度有所提高，但是拟合初值的选取影响结果的 稳定性［８］ 。 本文针对曲线拟合逆向云算法中参数不 规律跳变、误差较大的现象，提出了一种优化设计方 案，并通过仿真验证其有效性。 １ 云模型理论 设 Ｕ 是一个用精确数值表示的定量论域， Ｃ 是 Ｕ 上的定性概念，若定量值 ｘ ∈ Ｕ ，且 ｘ 是定性概念 Ｃ 的一次随机实现， ｘ 对 Ｃ 的确定度 μ（ｘ） ∈ ［０，１］ 是有稳定倾向的随机数，则 ｘ 在论域 Ｕ 上的分布称 为云，每一个 ｘ 称为一个云滴。 云模型的数字特征：期望 Ｅｘ 、熵 Ｅｎ 和超熵 Ｈｅ ， 这 ３ 个数字反映了定性概念的定量特征。 期望 Ｅｘ ：最能够表示定性概念的某些点。 与 Ｅｘ 距离越近，云滴集中性越好，反映人们对定性概 念的认知比较统一；与 Ｅｘ 距离越远，云滴相对分散， 反映人们对概念认知越不稳定，不统一。 熵 Ｅｎ ：定性概念不确定性的度量。 Ｅｎ 表达定性 概念的亦此亦彼性，反映了云滴在论域空间被接受 的区域范围，也就是模糊度量； Ｅｎ 还反映云滴出现 的随机性，代表云滴的离散度；同时熵也反映模糊性 和随机性之间关联性。 一般来说，熵的取值越大，表 示概念越宏观，模糊性和随机性也就越大，对概念的 确定性表达就比较困难。 超熵 Ｈｅ ：定性概念熵的不确定性表示，即熵的 熵。 由熵的模糊性和随机性共同决定。 由以上定义可知，论域中的值表示的定性概念 的确定度不是恒定不变的，而是在细小变化着的。 但这种细小的变化并不影响云模型的整体特征，对 云来说，重点在于研究云的整体形状反映出的不确 定性概念的特征，以及云滴大量出现时确定度值呈 现的规律性［ ９⁃１０ ］ 。 云模型中最重要的算法是正向云发生器和逆向 云发生器。 由数字特征 Ｃ（Ｅｘ，Ｅｎ ，Ｈｅ） 生成特定定 量数据的算法，称为正向云发生器（ ｆｏｒｗａｒｄ ｃｌｏｕｄ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ），用 ＦＣＧ 表示，如图 １。 云模型既不是一 条清晰的隶属度曲线，也不是一个确定的概率密度 函数。 而云模型是由两次串接的正态发生器生成的 许多云滴所组成，不仅是一对多的泛正态数学映射 图像，而且是一朵可以伸缩、无确定边缘的云图，并 具有定量和定性之间的转换的功能。 图 １ 正向云发生器 Ｆｉｇ．１ Ｆｏｒｗａｒｄ ｃｌｏｕｄ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ 正向云发生器的算法描述如下。 输入：定性概念 Ａ ～ 的数字特征 Ｅｘ，Ｅｎ ，Ｈｅ 以 及云滴个数 Ｎ 。 输出： Ｎ 个云滴的定量数值和云滴的确定度。 算法步骤： １） 以 Ｅｎ 为期望， Ｈｅ 为标准差生成一正态随机 数 Ｅｎ ′ ； ２） 以期望为 Ｅｘ ，标准差为 Ｅｎ ′ 生成一正态随 机数 ｘ ； ３） 计算： ｙ ＝ ｅ －（ｘ－Ｅ ｘ ） ２ ２（Ｅ ｎ ′） ２ ； ４） ｘ 就称为一个云滴，表达定性概念 Ａ ～ 的一 次具体量化； ｙ 称作 ｘ 属于定性概念 Ａ ～ 的确定度； ５） 重复 １） ～４），直至生成 Ｎ 个云滴。 逆向云发生器将一定量的样本转换为用数字特 征表示的定性概念，也就是一个定性概念数字特征 的还原过程，在这个过程中不可避免地会有误差产 生，因此人类认知过程的关键在于构造一个相对准 确的逆向云发生器［１１⁃１３］ 。 ２ 基于曲线拟合的逆向云改进算法 逆向云发生器（ ｂａｃｋｗａｒｄ ｃｌｏｕｄ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ，ＢＣＧ） 是从定量到定性的映射，它将一定数量的精确数值 有效转换为以数字特征 Ｃ（Ｅｘ，Ｅｎ ，Ｈｅ） 表示的定性 概念，实现定量数值与定性概念之间不确定性的转 换和定性概念的外延到内涵转换的过程。 逆向云发 生器如图 ２ 所示。 图 ２ 逆向云发生器 Ｆｉｇ．２ Ｂａｃｋｗａｒｄ ｃｌｏｕｄ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ 依据统计原理，如果给定的样本点越多，则逆向 云算法得到的参数估计误差越小。 无论采用什么算 法，在样本点数量有限的情况下，误差不可避免。 下面讨论正态云 （Ｘ，Ｙ） 的期望特性曲线。 当 ｘｉ 是一维时，正态云 （Ｘ，Ｙ） 是二维随机变 量，其联合概率密度函数为 ｆＸ，Ｙ (ｘ，ｙ) ＝ ｆＹ (ｙ) ｆＸ (ｘ ｜ Ｙ ＝ ｙ) ＝ 第 ５ 期 王辉，等：曲线拟合的逆向云改进算法 ·５９１·