此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数x∈(a,b), 使g(x)=0,现假设x是g(x)的重根，即 8(x)=(-x0n-2(x), 则 0n-2(x)=8n(x)1(x-x)2 是n-2次多项式，由正交多项式的定义有 Jpxg(x)s (x-x) k=0 另一方面却有此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数 1 x a b ( , ), * 1 ( ) 0, n g x = * ( ) 使 现假设 是 g x n 的重根，即 * 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ), n n g x x x Q x = − − 则 * 2 2 1 ( ) ( ) /( ) Q x g x x x n n − = − * * 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) b n n a g x x g x dx x x  = −  另一方面却有 * * * 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) b b n n n a a g x g x x g x dx x dx x x x x   =  − −   1 x 是 n − 2 次多项式，由正交多项式的定义有