银川能源学院《高签数学》救案 第五章定积分 说明：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法 无关，即 f(xx=f(dt=f(uydu. ②和空54通常称为了：的积分和：定积分1 是和式的极限， 利用“-6”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数I,如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数6，使得对于 区间[a,b)]任意分法及小区间[x-x]上点5任意取法，只要入<6时，总有 ε成立，则称I是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 ∫心fe达 (3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间[a,b]上可 积. (4)在积分心fx)杰的定义中，总是假设a<b,为了以后使用方便起见， 对于a=b,a>b的情形作如下规定： 当a=b时， ∫心fxdk=-0: 当a>b时， fx=-ft。 函数x)在[a,b上满足什么条件时，fx)在[a,]上可积呢？ 定理1设fx)在区间[a,b]上连续，则fx)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a,)]上，当x)20时，积分心fxt在几何上表示由曲线=fx、两 条直线=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当x)s0时，由曲线y=∫(x)、 两条直线x=、=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值； /xk=m立A=-m上-传Ax=直-fk. →0 0 当f(x)既取得正值又取得负值时，函数x)的图形某些部分在x轴的上方， 而其它部分在x轴的下方.如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面 积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分 心fx)达的几何意义为：它是介于x轴、函数x)的图形及两条直线x=Q、=b y=f(x) 第5页 A银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 5 页 说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法 无关 即      b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du  (2)和    n i i i f x 1 ( ) 通常称为 f (x)的积分和；定积分 ( ) b a f x dx  是和式的极限， 利用“ - ”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数 I，如果对于任意给定的正数  ，总存在一个正数  ，使得对于 区间 [ , ] a b 任意分法及小区间 1 [ , ] i i x x  上点 i  任意取法，只要    时，总有 1 ( ) n i i i f x I       成立，则称 I 是函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上的定积分，记作 ( ) b a f x dx  (3)如果函数 f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间[a b]上可 积 (4)在积分 ( ) b a f x dx  的定义中，总是假设 a b  ，为了以后使用方便起见， 对于 a b a b = ,  的情形作如下规定： 当 a b= 时， ( ) =0 b a f x dx  ； 当 a b  时， ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     。 函数 f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 定理 2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b] 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a b]上 当 f(x)0 时 积分  b a f (x)dx 在几何上表示由曲线 yf (x)、两 条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、 两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值                b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0      当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面 积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分  b a f (x)dx 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb y y f x  ( ) A3 A5 A1