第2期 王龙，等：复杂网络上的群体决策 ·103· 的信任程度如何分配，当时间足够长时，所有个体都 矩阵，矩阵元素，表示社团i中的个体和社团j中 会对起初那个确定性较高的词有几乎100%的确定 的个体进行博弈的概率这种定义类似于文献[97] 性，即 中的接触概率).由社团结构的定义，可以得到矩阵 l,x:(0→eam4saeo1,1→oo 需要满足以下几点： 特别地，当群体中只有2个个体时，得到了一个 有趣的结论：不论2个博弈者初始状态如何，存在 1)4=1,0≤w≤1： 0<w<1和s∈1,2，使得当u<u<1时，i, 2)wu =Wn; x()e,()→∞即只要博弈双方对自己足够自 3)w▣>w(i≠j》 信则达成一致是必然的.但此时为达到一致所需要 在这里，只考虑2种策略(A和B)的博弈演化 的时间可能会更长 情况，设博弈收益矩阵 为了叙述更一般的结论(n>2),先引入一个概 念：加权环的关键对.如果w.+1>w+2,且w+1.> [:9 w.1.,则称(i,i+1)是加权环的一个关键对.可以 式中：参数a、c分别表示与策略A博弈时，A、B的 看出，关键对之间有较强的互相学习的倾向.按照关 收益：参数b、d分别表示与策略B博弈时，A、B的 键对的个数可以将加权环的全体做等价分类，记B 收益.设x,表示第i个社团中使用A策略个体的比 为没有关键对的加权环的全体，A,为只有1个关键 例，表示使用B策略个体的比例，则该系统的状 对的加权环的全体，A2为有2个或2个以上关键对 态可以用向量(x1,2,x来表示，且第i个社团 的加权环的全体 中的A策略和B策略的收益分别为 当加权环中W∈A1,并记(i,i+1)为惟一的关 键对，记a=,里a,引x·a|,6八一 ,mi,利xa·}j=ami1xa~xal},6= f=cwx+d∑gy |w1-w+1l,若a6>b,则存在0<w<1和 s∈1,2，使得当u>u时，x:()e,x+1()e, 相应地，带有社团结构的复制动力学方程可以写成 1→∞，进而可以证明，x1()e,t→c∞ x:=x:(f-f), 对于只有一个关键对的加权环，只要关键对能 y.=y(fa-f) 在有限时间内对同一个词有更大的确定性，则系统 式中：f,=xf:+yfm.注意到x,+y=1,因此可 最终会达到一致.进一步可以发现，如果W∈A2,且 以简化为 任意一组关键对都分别满足相应a6>b的条件， 则群体会有局部一致现象出现，即每个个体都会在 dx=x(1x)1(a-b-c+d]wx+ dt 有限时间内只对一个词汇有更强的确定性，并且局 (b-d. (4) 部相邻个体会对同一词汇有更强的确定性.这些结 在方程(4)所描述的带有社团结构的系统中，如 果也许能在一定程度上揭示社会生活中方言形成的 果所有社团的状态最终都趋于一个相同的值，那么 内在机理， 就说该系统达到了一致 4.4社团网络上策略演化的一致性 当n=2时，即该系统只包含2个社团，可以发 基于3.2中的内容，在这里通过复制动力学来 现如果收益矩阵中的参数满足3个条件1)a>c且 研究群体策略演化的一致性问题.实际上，群体策略 b>d;2)a<c且b>d;3)a<c且b<d之一时，所 演化的一致性问题在混合均匀的网络上已得到了比 有社团最终可以达到一致状态，并且与系统的初始 较深入的研究1，但是在具有其他拓扑结构的网络 状态和社团之间的连接概率矩阵无关.而当a>c且 上，尤其是在具有社团结构的网络上却考虑得比较 b<d时，系统存在不惟一的吸收态，它们的吸引盆 少在这里，研究了具有社团结构的网络上策略演化 由方程(4)的内部平衡点(x`,x)来决定，其中 的一致性问题，重点研究了网络中各个社团状态达 x`=(b-d/(a-b-c+d,如果系统的初始状态 到一致的条件.所谓社团结构，就是内部连接概率大 位于吸收态0,0)和(1,1)的吸引盆中，那么此时系 于外部连接概率的一种空间构形.考虑在一个混合 统仍然可以达到一致：如果系统的初始状态落在吸 均匀的、无限的人口中，一共有n个大小基本相等的 收态0，)或者1.0)的吸引盆中，那么此时2个社 社团.定义矩阵W为网络中各社团之间的连接概率 团最终达到完全相反的2个状态（一个社团内部个 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net的信任程度如何分配 ,当时间足够长时 ,所有个体都 会对起初那个确定性较高的词有几乎 100 %的确定 性 ,即 Π1 , xi ( t) →eargmax{ x i1 (0) , x i2 (0) } , t → ∞. 特别地 ,当群体中只有 2 个个体时 ,得到了一个 有趣的结论 :不论 2 个博弈者初始状态如何 ,存在 0 < u 3 < 1和 s ∈{ 1 , 2} ,使得当 u 3 < u < 1 时 , Πi , xi ( t) →es , ( t) →∞. 即只要博弈双方对自己足够自 信则达成一致是必然的. 但此时为达到一致所需要 的时间可能会更长. 为了叙述更一般的结论 ( n > 2) ,先引入一个概 念 : 加权环的关键对. 如果 wi , i + 1 > wi + 2 , i且 w i + 1 , i > wi - 1 , i ,则称 ( i , i + 1) 是加权环的一个关键对. 可以 看出 ,关键对之间有较强的互相学习的倾向. 按照关 键对的个数可以将加权环的全体做等价分类 ,记 B 为没有关键对的加权环的全体 , A1 为只有 1 个关键 对的加权环的全体 , A2 为有 2 个或 2 个以上关键对 的加权环的全体. 当加权环中 W ∈A1 ,并记 ( i , i + 1) 为惟一的关 键对 , 记 a 3 = max s ∈{ i , i + 1} { | x x1 - x x2 | } , b 3 = min s ∈{ i , i + 1} {| xs1 - xs2 | } , j = argmin s ∈{ i , i + 1} { | xs1 - xs2 | } ,δ= | wj - 1 , j - wj + 1 , j | ,若 a 3δ> b 3 ,则存在 0 < u 3 < 1 和 s ∈{ 1 ,2} ,使得当 u > u 3 时 , xi ( t) →es , xi + 1 ( t) →es , t →∞ ,进而可以证明 , x1 ( t) →es , t → ∞. 对于只有一个关键对的加权环 ,只要关键对能 在有限时间内对同一个词有更大的确定性 ,则系统 最终会达到一致. 进一步可以发现 ,如果 W ∈A2 ,且 任意一组关键对都分别满足相应 a 3δ> b 3 的条件 , 则群体会有局部一致现象出现 ,即每个个体都会在 有限时间内只对一个词汇有更强的确定性 ,并且局 部相邻个体会对同一词汇有更强的确定性. 这些结 果也许能在一定程度上揭示社会生活中方言形成的 内在机理. 4. 4 社团网络上策略演化的一致性 基于 3. 2 中的内容 ,在这里通过复制动力学来 研究群体策略演化的一致性问题. 实际上 ,群体策略 演化的一致性问题在混合均匀的网络上已得到了比 较深入的研究[96 ] ,但是在具有其他拓扑结构的网络 上 ,尤其是在具有社团结构的网络上却考虑得比较 少. 在这里 ,研究了具有社团结构的网络上策略演化 的一致性问题 ,重点研究了网络中各个社团状态达 到一致的条件. 所谓社团结构 ,就是内部连接概率大 于外部连接概率的一种空间构形. 考虑在一个混合 均匀的、无限的人口中 ,一共有 n 个大小基本相等的 社团. 定义矩阵 W 为网络中各社团之间的连接概率 矩阵 ,矩阵元素 wij表示社团 i 中的个体和社团 j 中 的个体进行博弈的概率 (这种定义类似于文献[97 ] 中的接触概率) . 由社团结构的定义 ,可以得到矩阵 需要满足以下几点 : 1) ∑ n j =1 ωij = 1 ,0 ≤wij ≤1 ; 2) wij = wji ; 3) wii > wij ( i ≠j) . 在这里 ,只考虑 2 种策略( A 和 B ) 的博弈演化 情况 ,设博弈收益矩阵为 a b c d . 式中 :参数 a、c 分别表示与策略 A 博弈时 , A 、B 的 收益;参数 b、d 分别表示与策略 B 博弈时 , A 、B 的 收益. 设 xi 表示第 i 个社团中使用 A 策略个体的比 例 , yi 表示使用 B 策略个体的比例 ,则该系统的状 态可以用向量( x1 , x2 , …, x n ) 来表示 ,且第 i 个社团 中的 A 策略和 B 策略的收益分别为 f Ai = a ∑ n j = 1 wij x j + b ∑ n j =1 wij y j , f Bi = c ∑ n j =1 wij x j + d ∑ n j =1 wij y j . 相应地 ,带有社团结构的复制动力学方程可以写成 x . i = xi ( f Ai - f i) , y . i = yi ( f Bi - f i) . 式中 : f i = xi f Ai + yi f Bi . 注意到 xi + yi = 1 ,因此可 以简化为 d xi dt = xi (1 - xi) [ ( a - b - c + d) ] ∑ n j = 1 wij x j + ( b - d) . (4) 在方程(4) 所描述的带有社团结构的系统中 ,如 果所有社团的状态最终都趋于一个相同的值 ,那么 就说该系统达到了一致. 当 n = 2 时 ,即该系统只包含 2 个社团 ,可以发 现如果收益矩阵中的参数满足 3 个条件 1) a > c 且 b > d ;2) a < c 且 b > d; 3) a < c 且 b < d 之一时 ,所 有社团最终可以达到一致状态 ,并且与系统的初始 状态和社团之间的连接概率矩阵无关. 而当 a > c 且 b < d 时 ,系统存在不惟一的吸收态 ,它们的吸引盆 由方程 ( 4) 的内部平衡点 ( x 3 , x 3 ) 来决定 , 其中 x 3 = ( b - d) / ( a - b - c + d) . 如果系统的初始状态 位于吸收态(0 ,0) 和(1 ,1) 的吸引盆中 ,那么此时系 统仍然可以达到一致;如果系统的初始状态落在吸 收态(0 ,1) 或者 (1 , 0) 的吸引盆中 ,那么此时 2 个社 团最终达到完全相反的 2 个状态 (一个社团内部个 第 2 期 王 龙 ,等 :复杂网络上的群体决策 ·103 ·