得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1.用极限定义证明：m=3 证明：e>0,要使不等式 3n n+1 成立.解该不等式得到n>是.取N=[],则 e>0,3N= 即im架=3. 2.用极限定义证明：1ime2=0. 证明：He>0,要使不等式 le-0l et<e 成立.解该不等式得到x<血e(限定0<e<).取A=-l血e>0,则 Ve >0,3A=-lne 0,Vr <-A Ine,le"-0<, 即ime'=0. 3.按定义证明1imx2sin上=0. 证明：因为|sin引≤1，z∈R-{0}.e>0,要使 sin 1-0-2sin I 成立.解该不等式得到<√E.取6=VE,则 e>0,35=Ve>0,z:0<-0l<6有2sim2-0<6 即lim2sin上=0. 数学分析四试题第6页（共8页） © µò< n!y²K (ŒK
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30 © ) 1. ^4½Ây²: limn→∞ 3n n+1 = 3. y²: ∀ > 0, ‡¦Øª     3n n + 1 − 3     =     3n − 3n − 3 n + 1     = 3 n + 1 ≤ 3 n <  ¤á. )Tت n > 3  .  N = 3  , K ∀ > 0, ∃N =  3   , ∀n > N,k     3n n + 1 − 3     < , = limn→∞ 3n n+1 = 3. 2. ^4½Ây²: lim x→−∞ e x = 0. y²: ∀ > 0, ‡¦Øª |e x − 0| = e x <  ¤á. )Tت x < ln  (½ 0 <  < 1).  A = − ln  > 0, K ∀ > 0, ∃A = − ln  > 0, ∀x < −A = ln , k |e x − 0| < , = lim x→−∞ e x = 0. 3. U½Ây² limx→0 x 2 sin 1 x = 0. y²: Ϗ |sin 1 x | ≤ 1, ∀x ∈ R − {0}. ∀ > 0, ‡¦     x 2 sin 1 x − 0     =     x 2 sin 1 x     ≤ |x 2 | <  ¤á. )Tت |x| < √ .  δ = √ , K ∀ > 0, ∃δ = √  > 0, ∀x : 0 < |x − 0| < δ, k     x 2 sin 1 x − 0     < , = limx→0 x 2 sin 1 x = 0. êÆ©Û(I)ÁK 1 6 £
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