《数学分析(1,2,3)》教案 定义1对于一个级数∑un,他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。 定理2绝对收敛级数∑n的更序级数∑仍为绝对收敛,且其和相同,∑n=∑ 定理3若级数∑n条件收敛,那么,总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数,使它收敛于任何 预先给定的数S(包括∞的情形)。 注:(1)由条件收敛的级数重排后所得到的级数,不一定收敛:即使收敛,也不一定收敛于原来的和数。 如:设∑(-1) A 2345678 则 (-)1_1111 A 468 而S(-1n11,1 它正是第1个级数的重排 级数的乘积 设有收敛级数 ∑un=4+l2+…+un+…=A, ∑vn=v1+n2+…+Vn+…=B (2) 它们每一项所有可能的乘积为: u, l11 1v3 l, v l2112v2l23 u, v uv 1 un un2 unV3 定理4(柯西定理)若级数(1)、(2)都绝对收敛,则对(3)中所有乘积4",按任意顺序排列所得到的级 数∑n也绝对收敛,且和等于AB 例:等比级数 =1+r+r2+…+rn+《数学分析（1，2，3）》教案 9-9 定义 1 对于一个级数 1 n n u  =  ，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。 定理 2 绝对收敛级数 1 n n u  =  的更序级数 ' 1 n n u  =  仍为绝对收敛，且其和相同， 1 n n u  =  = ' 1 n n u  =  。 定理 3 若级数 1 n n u  =  条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何 预先给定的数 S （包括  的情形）。 注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。 如：设 A n n n  − = − + − + − + − + =  = +  8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 ， 则 8 2 1 6 1 4 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n  − = − + − + =  = +  ， 而 n n n 1 ( 1) 1 1   = + − 2 3 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n +  − = + − + + − + =  = +  ， 它正是第 1 个级数的重排。 级数的乘积 设有收敛级数 un = u1 + u2 ++ un += A， （1） vn = v1 + v2 ++ vn += B 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 1 1 u v 1 2 u v 1 3 u v … n u v1 … 2 1 u v 2 2 u v 2 3 u v … n u v2 … 3 1 u v 3 2 u v 3 3 u v … n u v3 … （3） … … … … … … 1 u vn 2 u vn 3 u vn … n n u v … … … … … … … 定理 4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积 i j u v 按任意顺序排列所得到的级 数 wn 也绝对收敛，且和等于 AB。 例：等比级数 1− r 1 =1+ r + r 2 ++ r n +， r  1