【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组1:a,a2…,an 可由向量组I:B1,B2,…,B,线性表示,则当r>s时,向量组I必线性相关或其逆否命 题:若向量组I:a1,a2,…ar,可由向量组I:B1,B2,…B线性表示,且向量组I线性无 关,则必有r≤s.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法如1={0B=(0B=(1),则a=0,B+0B,但B,B 线性无关,排除(A):01-(0)(0 2-0 则a1,a2可由B1线性表示,但B1线 性无关,排除(B);a1=B1= a1可由B1,B2线性表示,但a1线性无 关,排除(C).故正确选项为(D 【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P409定 理1 (5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B) ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A=秩(B) ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (D)③④ B 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析,但①②两个命题的反例比较复杂一些, 关键是抓住③与④,迅速排除不正确的选项 【详解】若Ax=0与Bx=0同解,则n-秩A=n-秩(B,即秩(A)=秩(B),命题③成立, 可排除(A)C):但反过来,若秩A)=秩(B),则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如A 00 ,则秩(A=秩(B)=1,但Ax=0与B=0不同解,可见命题④不成立,排除(D), 故正确选项为(B) 【评注】文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题 【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件 (A)r(A=r(B) (B)A,B为相似矩阵 (C)AB的行向量组等价 (D)AB的列向量组等价 有此例题为基础,相信考生能迅速找到答案6 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，则当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命 题：若向量组 I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r  s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1  2 ，则 1 0 1 0  2 =  +  ，但 1 2  ,  线性无关，排除(A)；         =         =         = 0 1 , 0 1 , 0 0 1  2 1 ，则 1 2  , 可由  1 线性表示，但  1 线 性无关，排除(B)；         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1  2 ，1 可由 1 2  ,  线性表示，但 1 线性无 关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定 理 11. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)  秩(B)； ② 若秩(A)  秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些， 关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立， 可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如       = 0 0 1 0 A ，       = 0 1 0 0 B ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题④不成立，排除(D), 故正确选项为(B). 【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例】 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案