第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 10、证明方程x3-5x-2=0只有一个正根 解设f(x)=x3-5x-2,则f"(x)=3x2-5, 令f(x)=0,得x=V3 (x>0). 当0<x<房时，f)<0,fx)在，y房]上单调减少， 从而f)3j0)=-2<0,xe[0☒ 当x>另时了)>0f准[V+]上单调增加。 所以f(x)在[、房+切]上鼓多有一个零点 而f(☒)<0，mf(x)=+, +00 所以方程只有 故fx在[V%+四上最少有一个零点. 一个正根. 北京邮电大学出版社 1212 5 2 0 . 10、 证明方程 x 3 − x − = 只有一个正根 设 ( ) 5 2, 3 解 f x = x − x − 则 ( ) 3 5, 2 f  x = x − 令 f (x) = 0, 得 ( 0). 3 x = 5 x  当 时， 3 5 0  x  f (x)  0, f ( x)     3 5 在 0, 上单调减少， 从而 f (x)  f (0) = −2  0, . 3 5 0,     x 当 时， 3  5 x f (x)  0, f ( x)     ,+ 3 在 5 上单调增加， 所以 f ( x)     ,+ 3 在 5 上最多有一个零点. 而 0, 3 5        f lim ( ) = + , →+  f x x 故 f ( x)     ,+ 3 在 5 上最少有一个零点. 所以方程只有 一个正根