定理2(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数 且f(x0)=0,f(x)≠0,那末 (1)当f(x)<0时,函数f(x)在x处取得极大值; (2)当f(x0)>0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)…f"(x)=lmf(x+△D-/()<0 A->0 △ 故f(x0+△x)-f(x0)与Ax异号, 当Ax<0时, 有(x+△x)>f(x0)=0 当Ax>0时,有f(x+△x)<f∫(x)=0, 所以函数f(x)在x处取得极大值定理2(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0  0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  = 0, 所以,函数 f (x)在 0 x 处取得极大值 设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x  , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x  时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x  时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  ( ) ( ) 0 x0 当x  0时， 有f  x + x  f  ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  当x  0时， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， 当x  0时， ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  ( ) ( ) 0 x0 有f  x + x  f  x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0  0 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， 当x  0时， ( ) ( ) 0 0 有f  x + x  f  x ( ) ( ) 0 0 有f  x + x  f  x