定理2:实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。 证:设A1,λ2是对称矩阵A的两个特征值,且A1≠2, P1,p2是依次与之对应的特征向量。 则41=A1n1,A2=2D2,(1≠2) A为实对称矩阵,∴AT=A 考虑4n1=(4n)=(4n)=n4=nA 于是λn2=nAP2=m1()=2·nn2, (41-42)2=0 λ≠石2,∴n1P2=0.∴(D1,2)=p1P2=0 即P1,P2正交。定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设   1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2    , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = =      , , ( ) 1 1 , T T T = = p A p A 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T   p p p A p p p =  =  2 1 2 , T =   p p ( 1 2 1 2 ) 0. T  −  =   p p , 1  2 1 2 0. T  = p p A 为实对称矩阵， T  = A A 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T 考虑   p p Ap = = 1 2 1 2 ( , ) 0 T  = = p p p p 即 p p 1 2 , 正交