一、基本概念和基本公式 1.定义 设曲面∑，以独立参数t、α形成双参数曲面族{∑}。若存在曲面远，云的每一点都 与{∑}中的基曲面∑：相切。在切点上，两曲面有公切面，则称三为双参数曲面族{二} 的包络。切点称接触点，全部接触点构成包络面∑。 2.蔷本公式 设母面∑的方程为：0=o(u,v),则双参数曲面族{}的方程是： {E}:本=(u,v,t,a) (1) 根据定义，的每一个点对应一对固定的参数t和a。该对参数t、α不仅决定了{工} 中的一曲面∑：，而且还决定了这曲面上的一接触点，即一对相应的参数u,V。所以： fu=u(t,a) l v=v(t,a) 且80,0+0 (2) 于是包络面工的方程可以写成： ∑：=(u(t,a),v(t,a),t,a) (3) 由（3)得三上任一点的切向量： Ou 6v 市%=市加0t+市，0t+市： (4) Ou 永，*=加0a+t0a+。 及法向量： 方餐三平：餐X予。餐 (5) 对于{{D}中任一曲面∑：，因为t=常数，α=常数，所以它的法向量是： 花=齐uX齐v (6) 根据定义：两曲面有公切面，故在接触点上，∑：。的法向量，必与该点的包络面∑上 的任一切向量垂直，即： ∫市：0·充=0 1。”·苑=0 (7) 由(7)，考虑到(5)，(6)，得 (。×v)齐，=0 {(。×*)产。=0 (8) 由(8)解出u=u(t,a),v=v(t,a),代入(2)，就得到(4)，但一般情况下， 只须将公式(8)与公式(2)联立。就得到了包络面的计算公式： =亦(u,v,t,a) 元 {(如×v)齐：=0 (9) (市u×*,)产。=0 为了便于应用，将(9)写成： 90一 、 基本概念和基本 公 式 定义 设 曲面 公 ， 以独立 参数 、 形成双 参数 曲面族 公 。 若存在 曲面万 ， 豆的 每一点都 与八 习 片 中的 基 曲面 公 。 相 切 。 在切 点上 ， 两 曲面 有公 切面 ， 则 称 名 为双 参数曲面 族 伙 的 包络 。 切点称接触点 ， 全 部接触 点构成 包络面 名 。 若本公式 设 母面 名 的方程为 产。 产。 ， ， 则 双 参数 曲面 族科 公 的方程是 习 铲 产 ， ， ， 根据定义 ， 兄 的每一个点对应一对固定的 参数 和 。 该 对 参数 、 不仅 决定 了材 公 中的 一 曲面 乙 。 ， 而且还 决定了这 曲面 上的一接触点 ， 即一 对相应 的 参数 ， 。 所 以 ， 二 ， 口 ， ‘ 流下 一 ， 几一 争 于是 包络面 公 的方 程可 以写成 公 予一 护签 ， ， ， ， ， 由 得 云 上任一点的 切 向 口 分 产 。 不 招 ‘ 日 口 尹 ’ 尹 万了 ， 十 尹 一 。 云 尹 尹 。 日一口一‘‘ 尹 及法 向蚤 元 铲‘ 护二 对于 习 中任一 曲面 兄 。 ， 订 护 根据定义 两 曲面 有公切面 ， 的任一切 向盆垂直 ， 即 因为 二 常数 ， 铲 故在接触点 上 ， 二 常数 ， 所 以它 的法 向量是 。 的法 向量 沌 ， 必 与该点 的 包络面 公 上 由 ， 考虑 到 产 二 菇 产 。 ‘ 浦 二 ， 得 尹 铲 ， 尹 尹 。 尹 ， 尹 。 由 解 出 ， ， ， ， 代 入 ， 就 得到 ， 但一 般情 况下 ， 只须将公 式 与公 式 联立 。 就得 到 了包络面 的 计算公 式 产 户 ， ， ， 节 。 产 ， 产 尹 。 尹 产 。 户、、 一习 为了便于应 用 ， 将 写 成