双参数曲面族的包络及其应用

D0I:10.13374/j.issn1001053x.198M.s1.024 北京钢铁学院学报 1984年增刊1 双参数曲面族的包络及其应用 工程图学教研室马馨峰 数学教研室冯德坤 摘要 本文导出了双参数曲面族用参数形式表示时包络面的计算公式。还给出了把斜 扎辊面当作双参数球面族的包络面时，求解辊形曲线的图解解析方法。 在生产实践中，除遇到单参数曲面族的包络外，还经常遇到双参数曲面族的包络。例如 滚齿。滚刀的旋转运动和与 该运动相关的轮坯的旋转运 动，构成了滚刀的单参数运 动，滚刀沿轮齿方向的移 动，是另-一独立参数的运动。 所以被加工的齿面，是滚刀 基本蜗杆曲面的双参数曲面 族的包络面。又如矫直辊 面，既可看作是圆柱面绕与 其轴线交错的矫直辊轴线旋 仁》 转而成的圆柱面族的包络 面，也可看作如图1所示， 是双参数球面族的包络面。 即球面∑既沿轴线z'作直线 运动（参数为p),又与z 一起绕轴线z(z与z'交错) 作旋转运动（参数为中）， 由于p和P无关，所以辊面 就是双参数球面族{∑}} (球心在z'所形成的单叶双 族转面上)的包络面工。 图1 89

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年增刊 双参数曲面族的包络及其应用 工 程 图学教研 室 马 峰 数 学 教 研 室 冯德 坤 摘 典 本文 导 出了双 参数 曲面族 用 参数形 式表示 时包 络面 的计算公 式 。 还 给 出了把斜 轧辊 面 当作双 参数球面 族 的包 络面 时 ， 求解辊 形 曲线 的 图解解析 方法 。 在生 产 实践 中 ， 除遇 到单参数 曲而 族 的包络 外 ， 还经常遇 到双 参数 曲面 族 的 包络 。 例如 滚齿 。 滚刀的旋 转运 动和 与 该运 动相 关的轮坯 的 旋 转运 动 ， 构成了滚刀 的 单参数运 动， 滚 刀 沿 轮 齿 方 向的移 动 ， 是 另一 独立 参数的运 动 。 所 以被加工 的 齿面 ， 是 滚刀 基 本蜗杆 曲面 的 双 参数 曲面 族的 包 络 面 。 又 如 矫直 辊 面 ， 既可看 作是 圆柱面 绕与 其轴线交错的矫直 辊轴线旋 转而成的 圆柱 面 族 的 包络 面， 也可 看作如 图 所示 ， 是 双 参数球面 族 的 包络面 。 即球面 公 既沿 轴线 尹 作直线 运动 参数为 ， 又 与， 一起 绕轴线 与， 交错 作旋 转运 动 参数为甲 ， 由于 和甲 无 关 ， 所 以 辊面 就是 双 参数 球面族 王习 球心 在 尸 所形 成的单 叶双 族 转 面 上 的 包 络 面 公 。 图 DOI ：10．13374／j ．issn1001－53x．1984．s1．024

一、基本概念和基本公式 1.定义 设曲面∑，以独立参数t、α形成双参数曲面族{∑}。若存在曲面远，云的每一点都 与{∑}中的基曲面∑：相切。在切点上，两曲面有公切面，则称三为双参数曲面族{二} 的包络。切点称接触点，全部接触点构成包络面∑。 2.蔷本公式 设母面∑的方程为：0=o(u,v),则双参数曲面族{}的方程是： {E}:本=(u,v,t,a) (1) 根据定义，的每一个点对应一对固定的参数t和a。该对参数t、α不仅决定了{工} 中的一曲面∑：，而且还决定了这曲面上的一接触点，即一对相应的参数u,V。所以： fu=u(t,a) l v=v(t,a) 且80,0+0 (2) 于是包络面工的方程可以写成： ∑：=(u(t,a),v(t,a),t,a) (3) 由（3)得三上任一点的切向量： Ou 6v 市%=市加0t+市，0t+市： (4) Ou 永，*=加0a+t0a+。 及法向量： 方餐三平：餐X予。餐 (5) 对于{{D}中任一曲面∑：，因为t=常数，α=常数，所以它的法向量是： 花=齐uX齐v (6) 根据定义：两曲面有公切面，故在接触点上，∑：。的法向量，必与该点的包络面∑上 的任一切向量垂直，即： ∫市：0·充=0 1。”·苑=0 (7) 由(7)，考虑到(5)，(6)，得 (。×v)齐，=0 {(。×*)产。=0 (8) 由(8)解出u=u(t,a),v=v(t,a),代入(2)，就得到(4)，但一般情况下， 只须将公式(8)与公式(2)联立。就得到了包络面的计算公式： =亦(u,v,t,a) 元 {(如×v)齐：=0 (9) (市u×*,)产。=0 为了便于应用，将(9)写成： 90

一 、 基本概念和基本 公 式 定义 设 曲面 公 ， 以独立 参数 、 形成双 参数 曲面族 公 。 若存在 曲面万 ， 豆的 每一点都 与八 习 片 中的 基 曲面 公 。 相 切 。 在切 点上 ， 两 曲面 有公 切面 ， 则 称 名 为双 参数曲面 族 伙 的 包络 。 切点称接触点 ， 全 部接触 点构成 包络面 名 。 若本公式 设 母面 名 的方程为 产。 产。 ， ， 则 双 参数 曲面 族科 公 的方程是 习 铲 产 ， ， ， 根据定义 ， 兄 的每一个点对应一对固定的 参数 和 。 该 对 参数 、 不仅 决定 了材 公 中的 一 曲面 乙 。 ， 而且还 决定了这 曲面 上的一接触点 ， 即一 对相应 的 参数 ， 。 所 以 ， 二 ， 口 ， ‘ 流下 一 ， 几一 争 于是 包络面 公 的方 程可 以写成 公 予一 护签 ， ， ， ， ， 由 得 云 上任一点的 切 向 口 分 产 。 不 招 ‘ 日 口 尹 ’ 尹 万了 ， 十 尹 一 。 云 尹 尹 。 日一口一‘‘ 尹 及法 向蚤 元 铲‘ 护二 对于 习 中任一 曲面 兄 。 ， 订 护 根据定义 两 曲面 有公切面 ， 的任一切 向盆垂直 ， 即 因为 二 常数 ， 铲 故在接触点 上 ， 二 常数 ， 所 以它 的法 向量是 。 的法 向量 沌 ， 必 与该点 的 包络面 公 上 由 ， 考虑 到 产 二 菇 产 。 ‘ 浦 二 ， 得 尹 铲 ， 尹 尹 。 尹 ， 尹 。 由 解 出 ， ， ， ， 代 入 ， 就 得到 ， 但一 般情 况下 ， 只须将公 式 与公 式 联立 。 就得 到 了包络面 的 计算公 式 产 户 ， ， ， 节 。 产 ， 产 尹 。 尹 产 。 户、、 一习 为了便于应 用 ， 将 写 成

x=x (u,v,t,a) y=y(u,v,t,a) Z=z (u,v,t,a) X: (9a) :A 0x B+ at =0 'A x+B- y B 8a +C- 0z ga =0 其中： 8y 0z 8z 0x Ou Ou 8u Ou Ou Ou A= B= C= ay 8z ⑦z 8x av 8v av av av 8v 二、应用 回转辊斜轧辊形曲线的通用公式 用公式(9)去求解回转辊斜轧辊形曲线，一般较繁，下面将利用双参数包络面的形成 原理，再考虑到画法几何中求截交线的方法，对这一特定的工程问题，可以得出较简化的通 用公式。 根据双参数包络面的形成原理，可得如下推论： 当双参数球面族的包络面为回（或旋） 转面时，该回转面的轴向剖截线是圆族的 L3 双曲线的内等曲线 包络，这一圆族的圆心在双参数球面族球 心所形成的旋转而的轴向剖截线上。 推论的正确性是显然的。由图】可以 Ls Ls 看出，过z轴的平面0xz,剖切球面族 双曲线 时，将得到心在双曲线上的圆族。该圆族 的包络（靠z轴的分枝）就是工的轴向剖 截线。图2是图1所示的几何模型的投影 n 图（左面的一枝圆族未画）。在正面投影 上，L:表示z'所形成的双曲回转面轴向 剖截线，L2表示工的轴向剖截线，显然 L豆是心在Ls上半径为r。的圆族的包络。 由图1和图2，可得下面的图解步骤： 1.求出轧件轴线（在图1,2中就 是z')绕辊轴2所形成的旋转面，它的轴 向剖截线就是I,。这可用画法几何中作 旋转面外形线的方法求得。 2.在L。上按轧件表面的内包络球 面沿z'轴的位置和半径画出圆族{「}。在 图2上，因为轧件是圆柱，所以圆族是等 经圆族。如果轧件是锥面、环面“，则 图2 91

名 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 日 去云 十 汽送 一 一 二丁 二 ‘ ’ 日 一 甘 日 。 日 。 日孟 一 二于 二答 一 “ 日 ‘ 一 口 ‘ 一 口 笼牛 一 ， 其 中 口 二 色生 ” 一 … 。 … 日 日 日 口月卜﹄几一 日一 日一 一 御 ﹄ 如 二 、 应 用－ 回 转辊斜 轧辊 形 曲线 的通 用 公 式 用公 式 去求解回转 辊斜 轧辊形 曲线 ， 一 般较繁 ， 下面将利用 双 参数包 络面 的 形成 原 理 ， 再 考虑 到 画法 几何 中求截 交线 的 方法 ， 对这 一 特定 的 工 程 问题 ， 可 以得 出较 简 化的通 用公 式 。 根据 双 参数 包络而 的形成原理 ， 可 得如 下推论 当双 参数球面 族 的 包络面 为回 或旋 转面 时 ， 该 回转而 的 轴 向剖 截线是 圆族 的 包络 ， 这 一 圆族 的 圆 心 在 双 参数球面族 球 心所形成 的旋 转 而 的 轴 向剖截线 上 。 推论 的 正确性是显 然的 。 由图 可 以 看 出 ， 过 轴的 平而 。 ， 剖 切 球面 族 时 ， 将得 到心 在 双 曲线 上的 圆族 。 该 圆族 的 包络 靠 轴 的分 枝 就是 乙 的轴 向剖 截线 。 图 是 图 所示 的 几何模 型的投影 图 左 面 的一枝 圆 族 未画 。 在正面 投影 上 ， 表示 产 所 形成 的 双 曲回 转面 轴 向 剖截线 ， 万表示 百的 轴向剖 截线 ， 显 然 玄是 心 在 上 半径 为 。 的 圆族 的 包络 。 由图 和 图 ， 可 得下面 的 图解步骤 求 出轧件轴线 在图 ， 中就 是 尹 绕 辊轴 所形成的旋 转面 ， 它 的 轴 向剖截线 就是 。 这 可 用画法 几何 中作 旋转面外形线 的 方法求得 。 在 上按 轧件表 面 的 内包络 球 面 沿 尹 轴的 位 置和 半径 画 出圆 族 。 在 图 上 ， 因为 轧件是 圆 柱 ， 所 以 圆族是 等 经 圆族 。 如 果 轧件是 锥面 、 环面 … … ， 则 三 双曲线的 内等址囚 线 乙瑞 线 ‘ ， ’ 、二 ，﹃二 一 、 么了 么 图

圆族将是变经圆族。 3。画出圆族的包络Γ，它就是辊面的轴向剖面线L莞，即L五=Γ。 由于作图精度不高，下面我们给出由这一作图过程而导出的一般公式。 为了具有一般性，设轧件轴线是一条沿z'方向单值连续的曲线【I,在oxyz坐标系中的 方程是： x=x (t) II: y=y(t) (12) z=z(t) 其中t为参变数。 设球半径为： R=R(t) (13) 轧件轴线I[绕轧辊轴线旋转所形成的回转面的轴向剖截线Ls,在该轴向平而内，当取 坐标系0xy时，其方程可写成： L(()+(y() (14) 心在L,上的圆族在同一轴向平面内的方程是： (T}: X=R(t)co8p+x*=R(t)Co8p+√(x(t))2+〔y(t))2 (15) Z*=R(t)sin+z*=R(t)sinp+z(t) 根据文献〔1)关于单参数平面曲线族的包络条件，可得以公式（15)所表示的曲线族{T} 的包络L元，即辊形曲线的方程是： X*=R(t)cosp+√(x(t)+(y(t)严 L=下： Z*=R(t)sino +z(t) (16) 0=Rvw+光ap+rw血e 当轧件轴线II是直线，即是图1中的z'时，上式可以简化，设两轴之间的最短距离为 A,交错角为a。(0°<a。<90),且取x轴方向为两轴的公垂线时，则： x=x(t)=A。 II: y=y(t)=-tsina。 (17) z=z(t)=tcosao 于是公式(16)变为 XW=R(t)co8p+√A。+t28in2ao LE: Z*=R(t)sino +t cosao (18) R'(t)+ t sinao cop+cosa Binp=0 √A。2+t28ina0 〔例)：不考虑反弯变形时，求斜辊矫直机辊形曲线，并证明该辊面的共轭曲面是圆柱而。 解：设轧件轴线是z',与z交错，交错角为Q。,最短距离为A0,圆材直径为d。=2r0, 如图1。 1.求辊形曲线L量 因为R(t)=r,所以R'(t)=0,由公式(18)可得： 92

圆 族 将是 变经 圆族 。 画 出圆 族 的 包 络 ， 它 就是 辊面 的 轴 向剖面 线 万 ， 即 窗 。 由于作图精 度不 高 ， 下面 我 们 给 出 由这 一作图过 程而导 出的一 般公式 。 为了具有一 般性 ， 设轧件 轴线是 一 条沿 尹 方 向 单值 连续的 曲线 ， 在 。 坐标系 中的 方 程是 其中 为参变数 。 廷球半径为 轧件 轴线 绕 轧辊轴线 旋 转所形 成 的回转面 的 轴向剖截线 ， 在该 轴向平面 内 ， 坐标系 。 时 ， 其方 程可写 成 价 召 〔 〕 〔 〕 艺 当取 夕、、 吕 心 在 上的 阅 族 在同一 轴向平面 内的方 程是 ， 二 甲 ’ 帕印 侧 〔 〕 ’ 〔 〕 兔 份 甲 补 甲 根据 文献 〔 〕关于单 参数平面 曲线 族 的 包 络 条件 ， 可 得 以 公 式 所 表示 的 曲线族 王 的 包络 玄 ， 即 辊形 曲线 的方程是 份 甲 侧 〕 〔 〕 “ ， 共攀其攀冥黑禁些 。 、 ， ， 、 犷 一 气 少 尸 一 一 一 当轧件轴线 是 直线 ， 即是 图 中的 产 时 ， 上式可 以简化 ， 设 两轴之 间的最 短 距 离为 。 ， 交错 角为 。 。 。 。 ， 且取 轴方 向为两 轴的 公垂 线 时 ， 则 ， ， “ ， “ ， “ ’ 岁 二 三里 “ “ 。 火 气 少 七 目 子是 公 式 变为 甲 亿 。 ， 。 朴 苗 ， 甲 ， 训 。 苗 。 。 印 〔例 〕 不 考虑反弯变形 时 ， 求斜 辊矫直机 辊形 曲线 ， 并证 明该 辊面 的共扼 曲而是 圆柱而 。 解 设 轧件 轴线是 ， ， 与 交错 ， 交错角为 。 ， 最 短 距 离为 。 ， 圆材直径为 。 。 ， 如 图 。 求辊形 曲线 玄 因为 。 ， 所 以 ， 二 ， 由公 式 可得

t8in2a。cosp √A。+t2ain2a。 =-co8a。inp 即： t tgao sina,cosop= Binp=√A。+ttga。 -√A0+tina。 VA。+ttg2a。 于是辊形曲线方程是： r。 X0=VA。2+t血*ag（1-A。+tg'a。） L2: (b) rotsina。tga。 Z"=tco8a0+/A。2+t2tga。 公式(b)就是文献〔1)中的辊形曲线方程式。其中t是沿轧件（圆材）轴线方向的长度参 变量。 2.证明上述辊形曲线所确定的辊而（回转面），在几何条件a。,A。不变时，与圆柱 面（轧件）共轭。 由作图可以得出，由公式(b)所确定的辊面是心在辊轴上的球面族的包络，该球面族 是变半径的，其半径的方程是： R(t)=R(p）=√pin'a。+A。-ro (c) 其中P是沿辊轴方向的以喉经为起点的长度参变量。当把辊面作为母面时，P就相当于 公式（18)中的t。p与公式(b)中t之间，存在p=t/co8a。的关系。 将(c)式代入公式(18)中的第三式，得： p8ina。 pin”a。co8p Apinpgina =+coga。inp=0 (d) 当co8p=~1,8inP=0时，满足公式(d),于是与辊面共轭的回转面的轴向剖截线的 方程是： L2: X*=R(p）co8p+VA。名+pin2a。=ro (e) Z=R(p)inp+pco8a。=pco8a。 显然(e)式表示圆柱面的轴向剖截线，也就是说该辊面的共轭曲面是圆柱面。或者说由公 式(b)确定的辊面，当绕与其轴线相交错的轧件轴线旋转时（两轴的交错角为α。，最短距 离为A。),它的包络面就是以轧件轴线为轴线的圆柱面。这就证明了由公式(b)所确定 的辊面，与由公式(e)所确定的圆柱面共轭，即互为包络。 利用公式(18)，还可解决当辊面调整时，即交错角和最短距离变化时，对轧件形状的 影响，限于篇幅，不赞述。 其他应用例子，不一一列举。 93

甲 了 名 。 一 。 。 日 。 苗 甲 即 目 甲 训 。 。 已 甲 一 侧 入万毛 咖 ， 了 干〔 雨瓜 于是 辊形 曲线方 程是 二 了 一兀丁石下下而石石丁 窗 了 一灭了下书花布了 ， ‘ 。 颐 。 又 。 工 ，甘 一 日 护创口 矛， 」 一 一 二一一 一一 一 二公一二匕盆 一 竺一一一 ‘ 刁 一 ‘ 、 几 ‘ 翻 、人 门「 矛 － 一 ， 甲一 一 － 一一 · ‘ ， 八 玉 玉 吞 付 吕 ‘ 下 匕 “ 公式 就是 文献 〕中的 辊形 曲线 方 程式 。 其 中 是 沿 轧件 圆材 轴线方向的 长 度参 变量 。 证 明 上述辊形 曲线所确定的 辊而 回转面 ， 在 几何 条件 。 。 不 变 时 ， 与圆柱 面 轧件 共扼 。 由作图可 以得出 ， 由公式 所确定 的 辊面是 心 在 辊 轴 上的球面 族 的 包络 ， 该 球面族 是 变半径 的 ， 其 半径 的方 程是 侧 ’ ， 。 。 ， 一 。 其 中 是 沿辊 轴方向的 以喉 经为起点的 长 度参变 量 。 当把辊面作为母面 时 ， 就 相 当于 公式 中的 。 与公式 中 之 间 ， 存 在 。 的 关系 。 将 式 代入公 式 中的 第三 式 ， 得 名 了 石 名 不下 亩云 苗 。 以粗 甲 ，下 于 亏一 亏 于 亏一 二 住 甲 气 八 。 一 一 山 一 当 甲 一 ， 方 程是 甲 。 时 ， 满 足公 式 ， 于是 与辊面 共辘的回 转面 的 轴向剖截线 的 贾 ， 哪 甲 训 。 ’ ’ ‘ ’ 。 份 公 甲 。 。 显然 式表 示 圆柱面 的轴 向剖截线 ， 也就是 说该 辊面 的共辘 曲面 是 圆柱面 。 或者说 由公 式 确定的辊 面 ， 当绕与其 轴线相 交错的 轧件轴线 旋转 时 两轴的 交错角为 。 ， 最 短 距 离为 ， 它 的 包络面 就是 以 轧件 轴线 为轴线 的 圆柱面 。 这 就证 明 了 由公式 所确定 的辊面 ， 与 由公 式 所确定的 圆柱面共辘 ， 即互 为包络 。 利用公 式 ， 还可 解决 当辊面 调 整 时 ， 即交错 角和 最短 距 离变化时 ， 对 轧件形状 的 影 响 ， 限 于篇 幅 ， 不 赘述 。 其他应 用例 子 ， 不 一一列 举

参考文献 〔1)复旦大学数学系《曲线与曲面》编写组，曲线与曲面，科学出版社，1977。 〔2)B.1.斯米尔诺夫著，孙念增译，高等数学教程（第二卷，第二分册），人民教有 出版社，1956。 〔3)马香峰，存在反弯变形时管（棒）材矫直辊面的确定，北京钢铁学院学报，1981， 1期。 〔4)P.A,列维德夫，齿轮啮合的解析理论（译自Proceedings of the Interna- tional Symposinm on GEARING and POWER TRANSMISSIONS 1981,Toky Vol,I) THE ENVELOPING OF A FAMILY OF BI-PARAMETRIC SURFACES AND ITS APPLICATION ABSTRACT 1 In this paper we derive the formula for computing the envelope of a bi-parametric family of surfaces,when they are expressed in parame- ters.We also develop a graph-analytic method for cacula ting cross roller shapes with revolving surfaces,when they are considered as envelopes of a bi-parametric family of spheres. 94

， 〕 〕 今 考 文 做 复旦大学数学系 《 曲线 与曲面 》 编写组 ， 曲线 与曲面 ， 科学 出版社 ， 。 斯米尔诺夫著 ， 孙念增 译 ， 高等数学教 程 第二 卷 ， 第二分册 ， 人 民教 育 出版社 ， 。 马香 峰 ， 存在反弯变形 时管 棒 材矫直辊面 的确定 ， 北京钢 铁 学院学报 ， ， 期 。 维德 夫 ， 齿轮啮合的解析理论 译 自 ， ， 尸产、、 皿﹃ 、︸、户 一 娜 截 。一 一 ， 一 一 ， 一 。 丫