D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1983.04.012 北京铜铁学院学报 1983年第4期 变6角平面包络环面蜗杆 治金工业部机械动力司蓁书阡 摘 要 本文提出一种变B角的平面包络环面蜗杆，并导出其有吴方程式。以这种蜗 杆所形成的传动将改善小传动比时蜗杆变尖和根切现象。理论分析使用了北京钢 铁学院的包络法及其算符， 多头，小速比的平面包络环面蜗杆传动一直是一项重要的科研课题。目前，设计、制 造者多从工艺上进行处理，如加大咽喉直径，缩短蜗杆长度和采用变齿高等措施。这些措 施为实际生产做出了贡献，应该予以肯定。但是，仍有必要继续探索，以求进一步改善。 平面包络环面蜗杆的变尖与根切，都是由对垂直轴具有一个倾角（通常称阝角）的平 面刀具（砂轮）加工蜗杆时所造成。平面刀具的倾角β一般是常数，选定后不再变化。多 头小速比的平面包络环面蜗杆加工时平面刀具的角是难以选择的，往往是防止变尖与防 止根切难以兼顾。如果使平面刀具的B角在加工埚杆时发生变化，使其适应防止变尖与防 止根切的需要，情况就不同了。可以使β角选定一个起始角，变化从娲杆端部开始。到咽 喉部位为止，过咽喉部位则原角度变化返回。若事先选定的起始角为，变量为中3，则 整个变B角是B。+P3。P3的变化决定了倾角β的变化。为简略起见，可直接把倾角看成是 B+P3,视P3为运动参数。这种变β角实际是变化其增量P3的平面包络环面蜗杆不同于日 本的P1 ana Worm,也不同于SG-71,而是对其改进。 一。几何关系与坐标变换 几何关系与坐标设置如图1所示。 设： S1、S2、S3是三个动坐标，它们的静坐标是S,、S:、S,。 S1(O1一x1y1z1)为蜗杆的旋转动坐标，其静坐标为S,(O。一X,Y,Z,)。S1对S,的转 角为P1。 S2(O2一x2y2z2)为蜗轮的旋转动坐标，其静坐标为S.(O。一X.Y.Z.)。S2对S.的转角 为P2。 S3(03一x3y3z3)为平面刀具刃平面的动坐标，其静坐标为S,(O。一X,Y,Z,)。S3对S。 的转角为p3。S,固连于S2,当S2以运动参数中2相对于S运动时，原点固连于S2上的S3除 以P2这个运动参数对S,运动外，还以运动参数P3相对于S,运动。即，固连于S3上的平面 绕z轴旋转外，还变化其倾角。 本文曹在北京机械工程学会1983年5月25日举行的传动年会上事读， 112
北 京 栩 族 学 晚 学 报 年 策 翔 变 日角平面包络环面蝇 杆 冶金 工 业 部机 械动 力 司 茶书叶 摘 要 本 文提 出一 种 变 日角的平 面 包络环 面 蜗 杆 ， 并 导 出其有吴 方 程式 以 这 种蜗 杆所形 成 的传 动 将 改善 小 传 动 比 时蜗 杆 变尖 和根 切 现 象 理 论 分析 使 用 了扔 京钢 铁 学院 的 包络 法 及 其葬符 多头 ， 小速 比的平面包络环面蜗杆传动一直是一项重要的科研课题 。 目前 ， 设计 、 制 造者多从工艺上进行处理 ， 如加大咽喉直径 ， 缩短蜗杆长度和 采用变齿 高等措施 。 这些 措 施为实际生产做 出了贡献 ， 应 该予 以肯定 。 但是 ， 仍有必要继续探索 ， 以求进一步改善 。 平面 包络环面蜗杆的变尖与根切 ， 都是 由对垂直轴具有一个倾角 通常称 角 的平 面 刀具 砂轮 加工 蜗杆时所造成 。 平面 刀具的倾角日一般是常数 ， 选 定后 不 再变化 。 多 头小速 比的平面 包络环面蜗杆加工 时平面 刀具的日角是难 以选择的 ， 往往是防止变尖与 防 止根切难 以兼顾 。 如果使平面刀具的日角在加工 蜗杆时发生变化 ， 使其适应 防止变尖与防 止根切的需要 ， 情况就不 同了 。 可 以使 角选定一个起始 角 ， 变化从蜗杆端部开 始 。 到 咽 喉部位为止 ， 过咽喉部位则原角度变化返 回 。 若事先选定的起始角为 日 。 ， 变量 为印 ， 则 整个变日角是日。 甲 。 甲 的变化决定 了倾角日的变化 。 为简略起见 ， 可直接把倾角看成是 日 甲 ， ， 视甲 为运动参数 。 这种变日角实际是变化其增量甲 的平 面包络环 面蜗杆不同于 日 本的 ， 也不 同于 一 ， 而 是对其改进 。 一 。 几何关系与坐标变换 几何关系与坐标设置如图 所 示 。 设 ，、 、 ，是三个 动坐标 ， 它们 的静坐 标是 ， 、 ‘ 、 。 一 、 为蜗杆的旋转动坐标 ， 其静坐标为 ， ，一 ， ， ， 。 对 ， 的转 角为甲 。 一 为蜗轮的旋转动坐标 ， 其静坐标为 一 一 一 。 对 的转角 为甲 。 一 为平 面刀具刃 平面 的动坐标 ， 其静坐标为 ，一 ， ， ， 。 对 的转角为甲 。 ，固连于 ， 当 以运 动参数甲 相对 于 运动时 ， 原 点固连于 上的 除 以甲 这个运动参数对 运动外 ， 还 以运动参数甲 相对于 运动 。 即 ， 固连于 上的平面 绕 湘旋转外 ， 还变化其倾角 。 本文 曾在北 京机械工 程学会 年 月 日举行的传动年会上寒读 ， 飞 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1983．04．012
图1几何关系与坐标 在图1中建立了以下坐标变换关系（以算符A(表达，[1][2]如A12),表示S:→S1, A(210,表示S1+S2): A12: x2 =-xicosopicos2 +yisinicos2-zisin2 +acoso: y2=+xicoso isin2-yisinisino2-zicoso2-asinoz (z2=-xisino1-yicosp (1) A(21r x1=-xzcosoicosp2 +yacosopisino2-z2sinoi +acoso y1=+x2sinoicoso2-y2sinoisino2-z2coso:-asino z1=-x2sinp2-y2coso2 (2) A(31): x1=-x3cosopicoso2 -y3〔cosp1sinp2cos(B+p3)+sinp1sin(β+p3)] +z3〔cosp:sinp2sin(β+p3)-sinp1cos(β+p3)) (a-rosin2)cospi y1=+x3sinoicosp2 113
图 几何关系与坐标 在图‘ 中建立 了 以下坐标变换关系 以算符 ‘’ 表达 ， 〔 ’ 〕 一 〔” 如“ ‘ ” ，， 标 · 寸 “ ” ” ， 表示 、 ‘ 一 甲 甲 一 甲 甲 一 甲 甲 甲 甲 ， 即 甲 一 ，甲 一 甲 一 甲 一 一 甲 下甘 ‘， 一 一 甲， 甲 甲 甲 一 甲 甲 呈 甲 甲 一 甲 ， 甲 一 甲 ，一 。 甲 一 甲 一 甲 一 ， 甲 印 ， 。 。 。 了 小 、 ‘ 玉 口 ， 一 廿 印 〔 甲 ‘ ‘ 甲 、 ， 甲 户 下 ’ ‘ “ 甲 “ ‘ 一 、 ’ ” ‘ 一 二 甲 甲 甲。 一 甲、 ‘ ， 甲 ， ， 一 甲 甲 苏 甲一 甲
+y3〔sinp1 sinp:cos(f+p3)-cosp1sin(β+pg)〕 -z3〔sinp1 sinoasin(β+p3)+cosp1cos(β+p3)〕 -(a-rosino:)sini Z1=-x3sino2+y3coso2cos(B+3) -z3cosop:sin(B+3)+rocos2 : (3) A(18): xi=-xicosopicoso:+yisinoicos2-zisin2+acos: y3=-x1 cosoisinocos(B+3)+sinoisin(B+s)] +yi[sinisinpzcos(B+)-cospisin(B+)] +z1 cosop2cos(β+p3) -(ro-asinz)cos(B+3) z3=+x1[cospisino,sin(B+3)-sinpicos(B+3)] -y:sinoisin2sin(B+3)+coso:cos(B+3)] -zicoso:sin(B+3) +(ro-asinz)sin(B+3) (4) 二。各运动参数之问的关系 由图1可知，共有P1、P2、甲三个运动参数，它们之间的关系是非常重要的，今设： p1=i12p2 (5) p2=i21p1 (6) i1(或i1z)是蜗杆副的传动速比。又设： s=ksin(is2) (7) 或 =ksin(is2i211) (8) 式中，k为振幅，也是p,的最大值，是事先选定的常数，i是单：角的角频率，如图2所 示。 i292= 2 114
于 ” 甲， ‘ ” ’ 几 ‘ 少 甲 ’ 一 ” ，甲， ‘ ” 少 ’ ‘ ’ ， 一 于 ‘ ‘ 罗 ‘三 ，兮竺 ，粗 甲，’ “ ，甲‘ “ ‘” 甲， ” 一 气 一 甲 少 甲 ‘ 丫 恕饰摆犷黑之 ’ ‘ 一 甲 甲 甲 甲 一 甲 甲 二 一 甲 甲 日 甲 甲 日 甲。 〕 一 〔 甲 甲 日 甲。 一 甲 日 甲 〕 甲 日 甲 一 。 一 甲 日 甲 ， 〔 甲、 甲 日 甲。 一 甲 日 甲 〕 一 〔 甲 甲 日 甲 甲 日 甲 〕 一 艺 。 。 甲 日 甲。 。 一 甲 日 甲。 二 各运动，救之间的关系 由图 可知 ， 共有甲 、 甲 、 甲 三个运动参数 ， 它们之 间的关系是非常重要的 ， 今设 甲 甲 甲 甲 · 或 是蜗杆副的传动速比 。 又设 · 甲 甲 或 甲 、 甲 式 中 ， 为振幅 ， 也是甲。 的最大值 ， 是事先选定的常数， 应 、是甲 角的角频率 ， 如 图 所 甲， 子 ， 甲 “ 厄一 ， 甲 ， 通一 不︸ 几
三。相似微分 北京钢铁学院所定义的相似微分及其算符如下，1][2] D1)f=A12)D,A(21)f D2)f=A(21)D,A(12)f D,(1f所表示的运算是，把S:上的函数通过坐标变换式变换到S2上，在S,上对运动参数 t求导数，得到的结果是S2的函数，再用坐标变换公式变换回到S1土去。D,(2)f所表示 的运算类周。 本文需要的相似微分是依照以上概念将Sg上的函数f=0用运动参数中1、P:、P,和坐 标变换公式变换到S1上，而后在S1上对P1求导数，再将在S:上获得的偏导数懒回到S, 上。为使记忆方便和醒目，规定所用相似微分算符的写法如下 一般地， D (i)f=A(iiD,A(ji)f 或 f=A是Af t 2t 如 D f-A(DDA()f 或 313)f=A(31月A(13)f co1 d1 由于相似微分完全是坐标变换、运动参数和速比等所确定的量，与曲面的形状无关， 可以事先算出。[1】[2]经计算，结果如下， a(313) X3= d1 -yscos(i)sin+ksin(i]+icoB+ksin(i zcos(ic+ksin(i+ki -roi21 (9) 日(313) +xcos(i)sinB+ksin(iic+ksin(i -zsin(i)-kicos( +rosin(i)sin[B+ksin(ii:)] asin[8+ksin(i32i:)] (10) 115
兰 。 相似徽分 北京钢铁学院所定义 的相似微分及其算符如下 口〕 〔幻 哪 ‘ ’ ， ’ ’ 。八‘孟，’ ， 之 二 ‘ ，， 所 表示 的运算是 ， 把 上的函数百通过坐标变换式变换到 上 ， 在 上对运动参数 求导数 ， 得到的结果是 上的函数 ， 再用坐标变换公式 变换回到 ，上去‘ 砰 所表示 的运算类同 。 本文 需要 的相似微分是依照 以上概念将 。 上的函数 。用运动参数甲，、 甲 、 甲。 和坐 标变换公式变换到 上 ， 而后 在 上对甲 求导数 ， 再将在 上获得的偏导教澳快回到 。 上 。 为使记忆方便和醒 目 ， 规定所用相似微分算符的写 法如下 一般地 ， 三 二 异 ‘” ‘’‘ “ ，，晶 ‘，，’‘ 甲 甲 裔 ‘’ ‘，’ ‘ “ ‘ ，渝 “ ，‘ 由于相似微分完全是坐标变换 、 运动参数和速 比等所确定的量 ， 与 曲面的形状无关 ， 可 以事先算出 。 〔 〔 经计算 ， 结果如下 矛币丁 ’ 二 一 一“ ，。 ‘ · 〔” ‘· ‘ ‘ ， 互，， ‘ 一〔” ‘ · ‘ ‘ 甲 公 一 一“ ，一〔。 ‘ ‘ ‘ ， ， ，一 ‘ ‘ · 〔。 “ ‘· ‘ ‘ ， 一 名 而丁 老 ， ， 。 ‘ ， ， ‘ · 〔 ‘· ‘ ， ， ‘ ， ‘ 一〔。 ‘ · ‘ ‘ 甲 ， 一 ‘ ‘ ， 一 ‘ 。 ‘ 。 。 “ ‘ ，几， 甲 、 〔日 、 甲 ， 、 一 。 【日 。 ， 甲 〕
03123= oPL +z{cos(i,ip1)cos[B+ksin(i,i,甲i门-i2 sinB+ksin(igi:p1)门 +ysin(ip1)-kiaaicos(i1甲月 +rosin(i:)cos[B+ksin(is:i] acos[B+ksin(ii)] (11) 获得的三个二阶相似微分是： 08(313) 0p1p1 X3= +yisin(i)sin[B+ksin(ii)] -kia:cos(i:)cos(isi:)cos[B+ksin(is2i2)] +kiaico()sinB+ksin( zisin(icB+ksin(i)] -kiaacos(i)cos(is2i)sin[B+ksin(ia2i)] +kiazicos(iai+ksin(ii (12) ∂0(313) Lp1‘P1 y3= xsin(i)sin[B+ksin(ii] .-kis:cos(i:1)cos(is:i)cos[B+ksin(iai)] +kiaiacos()sin+ksin(i -zicos(i)+kiisin(isi) +cos(i)sinB+ksin(i] +kis:sin(i)cos(isi)cos[B+ksin(is2i)] -akiazi2icos(ia2i)cos[B+ksin(is:i)] (13) 8a(313) dp!∂p1 3= xisin(ico+ksin(i] +kiaacos(i)cos(is2i)sin[B+ksin(is2i)] 116
甲 。 ‘ 甲 ，。 〔” ‘ “ ‘ 甲 ，，〕 一 ， ·‘ ‘ 人甲 ，一 ‘ 吕 ‘ 。 。 “ ‘一 ，互， 甲‘ 日 。 甲 〕 一 日 甲 〕 获得的三个二 阶相似徽分是 、 ， ‘ ， ， 一 ‘ 之 ‘ · 〔日 ‘ · “ 。 ‘ ，甲 ，， 甲 吕 ‘ ‘ ‘ 甲 ‘ 〔。 ‘ ‘ ， ‘ 甲 ，“ 一 。 甲 ‘ 印 。 叭 、 。 。 。 、 甲 〔。 ‘ · ‘ ‘ 王， 工 ， ‘ 出 、 ‘ · ‘ 甲 〔。 ‘ ‘ ‘ 盈甲 〕 一 甲 甲 日 。 甲 ‘ 」 。 ‘ ， 互 。 〔。 ‘ · ‘ ， ‘ 甲 么 号 ‘ 甲 甲 主 一 。 ‘ ‘ ‘ 、 ‘ 〔 。 ‘ “ ， 甲 ，〕 一 ，甲 甲 〔日 。 ‘ 甲 〕 。 ， ‘ ‘ · 〔。 ‘ ‘ 〕 一 、 一 ‘ 、 ， ‘ ， ‘ ‘ ‘ ‘ ， 。 ， 一 ‘ ， ‘ 〔 。 ‘ ‘ ‘ 玉， 〕 甲 。 ‘ ，甲 〔。 ‘ · ‘ ‘ 甲 ，〕 一 瘫 ‘ 印 、 〔日 、 甲 ， 〕 ‘ 、 、 甲 一 甲 一 ‘ ‘ ‘ ‘ 甲 〔。 ‘ ‘ ‘ 甲 ， ‘ 甲 。 甲， 〔日 、 ‘ 〕
+kis2i21cos(i32i21)cos[B+ksin(is:i)]} +ysiz1{cos(iz11)+ki322izisin(is2i211)} +roizi{cos(i11)cos[B+ksin(is2iz11)] -kis2sin(i211)cos(is2i211)sin[B+ksin(is2i1)] +akis2iz1cos(is2i11)sin[B+ksin(is2i21)] (14) 四。母面方程式 由图1可知，母面是一个固连于S,上的平面，以Σ，表示这个母面，以f(3)=0表示这个 母面在S3中的方程式（右上角注脚表示所在坐标)。由于Σ，固连于S,上，所以Σs在S,中 的方程式f(3)=0是不含运动参数的。即： 23t f3)=y,=0 当固连于S3中的Σ，以动坐标S1为相对静坐标运动时，在S1中去看这个在S:中的运动 的2，就变成含有中1、甲：、甲：三个运动参数的平面族。以{2，甲甲9}表示这个平面 族，以f(1)=0表示其方程式，在S1中，有 {2,999 f(1)=-xI[cosoisino:cos(B+3)+sinoisin(B+s)] +y:[sinoisino2cos(B+3)-cosoisin(B+3)] +z1cosp2cos(β+ps) -(ro-asin2)cos(B+3) =0 (16) 可改写变换成： f(1)=+x {cosoisin(i2)+sinoitg[8+ksin(is2i2)]} -yi[sinoisin(i211)-cosoitg[B+ksin(is2iz)]} -zIcos(i211) +ro-asin(i21) =0 五。蜗杆曲面方程式 蜗杆曲面在S1中，以2，表示之，三，是S,中2的包络面。在S,中，有 2 f(1)=A(13)f(3)=0 ）,司f1)=0A13f3)=0 oo1 8p1 这个联立式的第一式即(17)式，第二式根据相似微分和坐标变换算符的性质和定义，有 117
， 。 立 么 甲 、 日 。 甲 〕 。 甲 ， ，甲一 。 甲 ， 日 甲 〕 一 甲 。 甲， 日 。 印 〕 。 。 甲 日 甲 〕 四 。 母面方程式 由图 可知 ， 母面是一个固连于 上的平面 ， 以艺。 表示这个母面 ， 以 。 表示这个 母面在 。 中的方程式 右上角注脚表示所在坐标 。 由于艺 固连 于 上 ， 所 以艺 在 。 中 的方程式 是不含运动参数的 。 即 艺 当固连 于 中的艺。 的习。 ， 就变成含有甲 、 以动坐标 为相对静坐标运动时 ， 甲 、 甲 三个运动参数的平 面族 。 在 中去看这个在 中的运动 以 “ ’ 甲 甲‘ 表示这 个 平面 族 ， 以 。 表示其方程式 ， 在 中 ， 有 “ ’ 甲 ’ 一 〔 甲 甲 日 甲 甲 日 甲。 〕 〔 甲 甲 日 甲 一 甲 日 甲 〕 甲 日 甲， 一 。 一 甲 日 甲 可改写 变换成 甲 甲 甲 日 甲 〕 一 甲 ， 甲 一 甲 日 甲 〕 一 甲 。 一 甲 一 五 。 蜗杆曲面方程式 蜗杆曲面在 中 ， 以艺 表示之 ， 艺 是 、 中艺。 的包络面 。 在 中 ， 有 艺 厂 “ ，，一 、 口，一 、 气 甲二 口， 飞 ‘ 产 、 口甲 这 个联 立 式的第一式 即 式， 第二式根据相似微分 和坐标变换算符的性质和定义 ， 有
分{)=ap1 891 A(18)f3) =A13日81》f8) 司中： =Au汇ax,o 日(318》x8 g1().g 0i3 0(813) + dys 8p: s 0f3): 0(313) +02 a z] =0 从而获得 Zit +x{cospisin(i2)+sinitg[B+ksin(is2i2)]} -yi[sinisin(i)-cosoitg[B+ksin(ia:i1)]} -z:cos(i:)+ro-asin(iz1) =0 +xsinpisin(i:)-cositg[B+ksin(is:i)] -i:1cosp1cos(iz1p!） +kisizcos(i)(cossin(i)tgCB+ksin(i:)]-sin) +ycosisin(i:)+sin:tg[B+ksin(isi)] +izisinicos(i1) -kiasiacos(ii)(sin:sin(i)tB+ksin(ic) -zIizsin(i) +kis2i:cos(i)cos(isi2)tg[B+ksin(isi)]} +rokia2iaicos(is2i)tg[B+ksin(ia2i)] +alizicos(i) -kiszi:sin(i)cos(iazi)tg[B+ksin(is2i)]} =0 (18) 观察(18)式，是在S:中的两个平面族的联立式，这说明蜗杆曲面是由这两个在S, 中运动的平面族的交线所构成。这两个平面族的运动参数都由P1表达，当给定一个P:值 时就有两个平面及其交线，这些交线构成Σ1。两个平面的交线是直线，所以！是直纹面。 118
幻 ’ 口 口甲 一甲口八 一口 二 ， 二 、 ， 八 、 。 ， 爪万二一一 工 旦 一 口甲 ，弓 口 ， ， 、 口 十 二， 、 。 ， 二二 一 ， 口 口甲 其 典 ‘ ， 口 口甲 从而获 得 艺 ， 甲 甲 甲 日 。 甲 〕 一 甲 甲 一 甲 日 甲 〕 一 甲 一 一 甲 ‘ 甲 ‘ ‘ 甲 一 甲 〔。 ‘ ‘ ‘ 几甲 ， 一 甲 甲 · 甲 甲 ， 〔。 ‘ ‘ 么‘ 昌 ， 〕 一 ‘ 甲 ， 一 甲 ‘ 甲 、 甲 〔。 甲 、 〕 甲 甲 一 。 甲 甲 甲 ， 日 甲 ，〕 ，， ，， 一 甲 甲 。 甲 日 。 甲 ， 〕 。 日 甲 〕 甲 一 。 甲 ， 甲 〔日 甲 〕 二 … 、、 … 观察 式 ， 是在 中的两个平面 族的联立式 ， 这说 明蜗杆曲面 是 由这两 个在 ， 中运动的平面族 的交线所 构成 。 这两个平面族的运动参数都 由甲 表 达 ， 当给定乙个甲 ，值 时就 有两个平面及其交线 ， 这些女线构成艺 。 两个平面的交线是直线 ， 所 以艺 是直纹面 。 母
六。母面上接触线方程式 母面上接触线方程式在S,中，以C】 表示之，有 c (f(3)=0 8318)f3)=0甲1=p10 ∂p1 式中P,=P10条件是指当P:是一个具体的转角P1时的情况下而言。可直接获得 C9) i! y3=0 +x(cos(i2)sin[B+ksin(is2i)]+i21cos[B+ksin(is2i:)]} -Za[sin(i211)-kis2iz1cos(is2i)] +rosin(i2)sin[B+ksin(is2i211)] asin[8+ksin(is2i211)] =0 ，p1=p10 (19) 观察(19)式，是$s中一个不含运动参数的平面方程式与一个含有运动参数的平面族 方程式的联立式，可见是一条直线的方程式。当给定P1一个具体数值P1时，就有一条接 触线出现在y3=0平面上。 七。母面上接触线的包络线方程式 以厂表示母面Σ3上接触线的包络线方程式，有 了： /f3)=0 0(313)f3=0 a1 0∂813)f3)=0 、dp1∂p, 根据前面所获结果，有 : y3=0 +x3{cos(i)sin[B+ksin(is2i)]+izcos[B+ksin(is2i)]} -Z3[sin(iz)-kia2i2icos(is2i21)] +rosin(iz)sin[B+ksin(i32i] -asin[8+ksin(is2i2)] =0 -xsi2sin(i)sin[B+ksin(is2i)] 119
六 母面上接触线方程式 母面上接触线方程式在 中 ， 以 望 ’ 甲 、 石 ‘ 勺 甲 一吕 表示之 ， 有 甲 厂 “ ， 一 二二 ’ 又 甲 甲 甲 式 中甲 甲 。 条件是指当甲 是一个具体的转角甲 。 时的情况下而言 。 可直接获得 七 甲 甲 〔日 。 印 〔日 甲 〕 一 甲 一 一 。 甲 」 。 甲 〔日 甲 一 〔日 甲 〕 ， 甲 。 观察 式 ， 是 中一个不含运动参数的平面方程式与一个含有运动参数的平面族 方程式的联立式 ， 可见是一条直线的方程式 。 当给定甲 一个具体数值甲 。 时 ， 就有甲条接 触线 出现在 。 平面上 。 七 母面上 接触线的包络线方程式 以 ，表示母面艺 上接触线的包络线方程式 ， 有 呈 ‘ 王 二 一一一尸一 印 、 。 一色一 丽万 “ 甲 ‘ 根据前面所获结果 ， 有 、 印 、 〔日 、 印 、 〕 、 〔日 、 甲 、 〕 一 ， 〔 甲 一 。 甲 。 甲 〔日 甲 一 〔日 甲 〕 一 ‘ ‘ ‘ 甲 ‘· 〔。 ，· 。 〕 草公
-kiszcos(is2iz){cos(i)cos[B+ksin(ia2i)] -izsinB+ksin(ii -zsiz[cos(i)+kisiiaisin(is2i)] +roiz{cos(i)sin[B+ksin(is2i2)] +kiszsin(i)cos(is2i)cos[B+ksin(is2iz)]} -akis2i:cos(is2i)cos[B+ksin(isi)] =0 (20) 八。蜗杆曲面上接触线方程式 蜗杆雷雨上的接触线方程式在S,巾，以C8表示之。C,实际上就是前已求出的(18) 式附加以条件中：=p1。即可，不重复写出。 九。蜗杆曲面上按触线的包络线方程式 蜗杆曲面上接触线的包络线方程式在S,中，以表示之，有 了1： f(1)=0 （òf)=0 891 -f1)=0 ∂p1∂p1 即 +xcospisin(i)+sinitg[B+ksin(ia2i2)]) -yi{sinisin(i21)-cosopitg[B+ksin(is2i2)]} -zcos(iz)+ro-asin(iz) =0 +xsinp:sin(iz)-cosopitg[B+ksin(is2i)] -izicosoicos(i:) +kiszizcos(iszi)(cospisin(i:)tg[B+ksin(iazi)]-sin) +y cosisin(i:)+singitg[B+ksin(is:i] +izisinoicos(ii) -kiicos()(sinsin()tgB+ksin(icos) -zizisin(i1) 120
一 。 ，印 盈 甲 ， 〔日 ，印 」 一 〔。 ， 〕 一 〔 甲 盖 甲 ， 〕 。 甲 〔日 ，甲 ， 〕 叭 甲 日 。 ， ，甲 〕 一 。 甲 〔日 印 〕 二 ‘、，月 、 八月︸ 一， 了‘ 、 、 的 实际 上就是前 已求出 八 蜗杆曲面上接触线方程式 蜗杆曲面上的接触线方程式在 中 ， 式 附加以条件甲， 甲 」。 即可 ， 不重复写 出 。 以 军 表示之 。 军 九 蜗杆曲面上接触线 的包络线方程式 蜗杆曲面 上接触线的包络线方程式在 中 ， 以 表示之 ， 有 二 了 二 甲 ‘ 甲 一 甲 即 甲 ，甲 甲 日 甲 〕 一 甲 甲 一 甲 日 甲 ， 〕 一 一甲 。 一 印 ‘ 甲 ‘ ‘ ， 一 ， 〔。 ‘ ‘ ， 〕 一 甲 一 一甲 ， 甲 甲 ，印 〔日 甲 ， 〕 一 甲 · ‘ ‘ 甲 、 〔。 甲 ， 〕 甲 三 ，甲 一 甲 甲 甲， 〔日 ，甲 甲 一 印 王
+kis2izcos(i)cos(is2i2)tg[B+ksin(iszi)) +rokis2izcos(is2i)tg[B+ksin(is2i] +afizicos(izi) -kis2izsin(i::)cos(is2iz)tg[B+ksin(is2i)) =0 +xcospisin(iz)+sin:tg[B+ksin(is2i2)] +i212singicos(i211) +izcoso:sin(iz1) -kis2iz:cos(is2i2){cosE1+sec2[B+ksin(is2i2) +sinoisin(i)tg[B+ksin(is2iz)] +kis2izicoscos(i)cos(is2i2)tg[B+ksin(is2iz)] +kisiisin(is2i2)(sin-cosisin(i)tg[B+ksin(is2i)]} +kais()cos()s+kin(ii] -y (sinoisin(iz)-cosopitg[B+ksin(is2i2)] -i212cosoicos(i2) +izisinoisin(iz) -ki32i2icos(is2i2){sin:1+sec2[B+ksin(is2i +cosoisin(i)tg[8+ksin(isi)]} +kiszizisinpicos(i)cos(iszi)tg[B+ksin(isi] -kisi:isin(is2i)(cos:+sinisin(i:)tg[B+ksin(isi)]} +k2isi2isin:sin(i:)cos2(is2iz)sec2B+ksin(is2i)] -zIiicos(i2) -kiszizisin(i)cos(is2i)tg[B+ksin(ia2i) -kisiicos(iz:)sin(isziz)tg[B+ksin(is2i)] +k2isizicos(i2)cos2(is2iz)sec2[B+ksin(is2i)]) -ro(kisiiisin(is2iz)tg[B+ksin(is2i)] +k2isizicos2(is2iz)sec2[B+ksin(ig2iz)]} 121
， 甲 ， 甲 〔日 甲 〕 。 · 甲 〔日 甲 。 甲 一 。 ， 甲 ， ，甲 ， 日 。 甲 〕 一 、 二 。 · 甲 ， 〔。 ， 、 〕 甲 甲 号 甲 印 一 ， 。 ，甲 ， 甲 ，匡 〔日 甲 〕习 甲 ， ， 日 甲 ， 〕 子 甲 ， 甲 ， 甲 ， 〔日 甲 〕 菱 荃 ，甲 ， 甲 一 甲 ， 甲 〔日 甲， 〕 ， ， · 、 · ，、 ， 、 一 〔 。 甲 〕 一 ， 甲 ，甲 一 甲 〔日 ，甲 ， 〕 一 ， 印 ，甲 节 甲 甲 ， 一 ，甲 ， 甲 ，匡 “ 日 甲 〕习 圣 一 轰 于 印 ，抓 甲， 〔 户 甲 〕 甲 甲 ， ，印 〔日 甲 〕 甲 甲 甲 甲 〔日 甲 〕 呈 爹 ， ， “ 印 日 ， 甲 〕 一 专 甲 ， 二 一 一 全 ，甲 ， ，甲 〔日 。 印 〕 艺 ，甲 甲 〔日 甲 ，‘ 盖 专 甲 ， 甲 “ 〔 日 甲 〕 一 。 受 专 叭 〔日 ，甲 ， 〕 受 专 。 甲 ’ 〔日 。 ，甲 〕
