经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 问题思考:设K,Y是二随机变量,则下列事实是等价的吗?若是,加以证明 若不是,请举出反例 (1)cow(x,)=0 (2)X与Y不相关 (3)EYYFE(XE(Y) (4)D(+=D(X)+D(刀 答案:是等价的。证明如下:由(1)owx,Y)=0, X, Y Y 则得 )√D(n)=0,所以,X与Y不相关.反之亦然 由(1)cov(x,Y)=0,即 EL(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)] E(XY)-E(YE(X)-E(XE(Y)+E(XE(Y) =E(XY)一E(X)E(Y 所以,E(XY)=E(X)E(Y).反之亦然 th(1)cov(x, Y=0, D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+)32 =E[(X-E(X))2-2(X-E(X)(Y-E(Y)+(Y-E(Y)2] =D(X)-2cov(x, Y)+D(Y)=D(X)+D(Y) 反之亦然 三、例题讲解 339经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——339—— 问题思考:设 X，Y 是二随机变量，则下列事实是等价的吗？若是，加以证明 若不是，请举出反例． (1) cov(X,Y)＝0； (2) X 与 Y 不相关； (3) E(XY)=E(X)E(Y); (4) D(X+Y)=D(X)+D(Y)． 答案：是等价的。证明如下：由(1) cov(X,Y)＝0， 则得 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  XY = ＝0，所以，X 与 Y 不相关．反之亦然． 由(1) cov(X,Y)＝0，即 E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－YE(X)－XE(Y)+E(X)E(Y)] ＝E(XY)－E(Y)E(X)－E(X)E(Y)＋E(X)E(Y) ＝E(XY)－E(X)E(Y)=0 所以，E(XY)=E(X)E(Y)．反之亦然． 由(1) cov(X,Y)＝0，D(X+Y)=E[(X+Y)－E(X+Y)]2 =E[(X－E(X))2－2(X－E(X))(Y－E(Y))+(Y－E(Y))2] =D(X)－2 cov(X,Y) ＋D(Y)=D(X)+D(Y) 反之亦然． 三、例题讲解