判断代数精度的方法 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 当f(x)=1,Xx2,…Ⅻm时求积公式精确成立, 而f(x)=xm+时公式近似成立分求积公式的代数精度为m次 证明:必要性显然,下证充分性 对任意m次多项式Pn(X)=a+aX+a2x2+…anx(an≠0) 由于求积公式!减=∑Ax)对于f(x)=1,xx2…xm时精确成立 b ∫1dx=∑A b k xdX=∑Ax X"dx=∑AkxR a k≠0 k=a,+a×+…+21xk=a2A+a2Ax+…+a2∑A k=0 k=0 k=0 ∑A+aX+…+anx)=∑APnx) k=0 ∴求积公式对Pn(X)精确成立 但对m+1次多项式公式近似成立(R≠0),由定义知 HUST 该公式的代数精度是m次当f(x)=1,x,x2,…,xm时,求积公式精确成立, 而f(x)= xm+1时公式近似成立, 证明: 必要性显然.下证充分性 对任意m次多项式Pm(x)=a0+a1x+ a2x2+…+ amxm.(am 0) 由于求积公式 对于 由于求积公式 对于 f(x)=1,x,x2,…,xm时精确成立 n b i i a i 0 f(x)dx Af(x ) = ∫ ≈ ∑ ≠≠ ≠ ∴= = = ∫∫ ∫ ∑∑ ∑ nn n bb b m m k kk kk aa a k0 k0 k0 1dx A , xdx A x , ... , x dx A x = + ++ ∫ ∫∫ ∫ b bb b m m 01 m a aa a P (x)dx a dx a xdx ... a x dx 判断代数精度的方法 求积公式对Pm(x)精确成立. 但对m+1次多项式,公式近似成立(R 0),由定义知. 该公式的代数精度是m次 == = = + ++ ∑∑ ∑ nn n m 0 k 1 kk m kk k0 k0 k0 a A a A x ... a A x = = + + + ∑ n m k 0 1k mk k 0 A (a a x ... a x ) = = ∑ n km k k 0 A P (x ) !求积公式的代数精度为m次