为了简便地建立起晶格振动的运动方程,须作一些近似或者简化。第一个近似就是 简谐近似:设在平衡位置时,两个原子间的相互作用势能是u(a),令8=xn+1-xn,则产 生相对位移后,相互作用势能变成u(a+8),将(a+8)在平衡位置附近用泰勒级数展 开,可得 l(r)=l(a+)=l(a)+ d+1(du82+ dr d u d-u 式中首项为常数,可取为能量零点。由于在平衡时势能取极小值,第二(一阶)项 为零,简谐近似指势能展开式只取到二阶项即包含82的项。这显然只适用于微振动, 即δ很小的情况。此时,恢复力 d u d-u d dr 此处尸为恢复力常数 第二个近似是只考虑相邻原子之间的相互作用。则第n个原子所受到的总作用力为 f=f+f=B(m-x,)+B( n)=B(xn+1+ 第n个原子的运动方程就可写为 B(x Run 对于n=1,2…,N的每个原子,都有一个类似(34)式的运动方程,所以方程数目 和原子数目N相等。 3.12格波频率与波矢关系 设方程组(34)式有下列形式的解 这是一振幅为A,角频率为ω的简谐振动,式中qna是第n个原子振动的位相因子。当 第n和第n个原子的位相因子之差(qna-qma)为2π的整数倍,或nq-mq=2s (s为整数),即一维倒格子原胞或布里渊区大小的整数倍时,为了简便地建立起晶格振动的运动方程，须作一些近似或者简化。第一个近似就是 简谐近似：设在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能是u（a），令δ= xn+1-xn，则产 生相对位移后，相互作用势能变成u ( a+δ)，将u (a+δ) 在平衡位置附近用泰勒级数展 开，可得 ⎟ ⎟ +L ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= 3 3 3 2 2 2 !3 1 2 1 δ )()()( δ δ δ a a a dr ud dr ud dr du auauru ⎟ ⎟ +L ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ 3 3 3 2 2 2 !3 1 2 1 δ δ a a dr ud dr ud （3.1） 式中首项为常数，可取为能量零点。由于在平衡时势能取极小值，第二（一阶）项 为零，简谐近似指势能展开式只取到二阶项即包含δ2 的项。这显然只适用于微振动， 即δ很小的情况。此时，恢复力 −= βδδ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−= a dr ud dr du f 2 2 （3.2） 此处β为恢复力常数 a dr ud ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 β （3.3） 第二个近似是只考虑相邻原子之间的相互作用。则第 n 个原子所受到的总作用力为 = + 21 = β +1 − nn + β −1 − nn = β ()()( + nn −+ 11 − xxxxxxxfff n )2 第 n 个原子的运动方程就可写为 ( 11 )2 2 2 nn n n xxx dt xd m β −+ −+= （3.4） 对于 n = 1, 2…, N 的每个原子，都有一个类似（3.4）式的运动方程，所以方程数目 和原子数目 N 相等。 3.1.2 格波频率与波矢关系 设方程组（3.4）式有下列形式的解 qrti )( qnati )( n Aex Ae − n − = = ω ω （3.5） 这是一振幅为 A，角频率为ω的简谐振动，式中 qna 是第 n 个原子振动的位相因子。当 第 n′和第 n 个原子的位相因子之差（ ′ − qnaanq ）为 2π的整数倍，或 s a nqqn 2π ′ =− （s 为整数），即一维倒格子原胞或布里渊区大小的整数倍时， 2