第一章鲁棒控制问题及其数学描述 其中δ是不确定参数。记标称对象为 Po=P(s,0)= 先考虑稳定性问题。由于Po的分子和分母多项式互质,Po可镇定。若取C=(6s+5)/(s+1),则闭环 糸统的特征多项式为 F(s,6)=(s+1)(s2-8+1)+(6s+5)(s+1+6)=(s+1)(s+2)(s+3)+6(6s+5) 当δ=0时,闭环糸统稳定。当δ=-1.2时,F(s,δ)有一个根位于原点。而当δ<-1.2时,由根轨迹法 知,F(s,δ)将有一个根位于正实轴上。上述分析表明,参数的不确定性將影响糸统的稳定性 再考虑伺服河题。设参考输入为阶跃信号,则控制器中应有积分环节。此时要求Pa(s,6)=P(s,6)/ 不能有不稳定的零极点对消。为保证这一点,δ应大于-1 这个例子说明,系统中的不确定参数会使系统的性能发生逆变。为了保证系统的性能不受不确定性的影 响,不确定性参数应该在某种意义下足够小。换句话说,作为设计依据的标称模型Po应足够精确。上面 这个例子还说明,对系统的性能要求越高,对标称模型Po的精确度要求越高。 下面考虑具有另一种不确定性的系统。我们先定义T∞范数。设G是稳定的线性系统。G的 范数‖G‖定义为 G叫|s:=esup[G(ju (1.1) 这里列是矩阵的最大奇异值。‖的意义如下。设G的各个输入信号t;(t)是同频率的正弦信号, 则稳态时各个输出信号y(t)是和输入同频率的正弦信号。令u(j)和v(ju)分别是u(t)和y(t)的复数 表示,则有 y(w)=G(w )u(w 其中ω是正弦信号的频率。系统对频率是的正弦信号的放大作用定义为 y(jw) ax 可以证明,上述比值为∂[G(心ω于是,‖G实际上是系统对正弦输入的最大增益,它可以理解为衡量 系统“大小”的一个尺度。当G是单变量系统时,‖|即G的幅频响应特性的最大值,见图1.3. 图13:H∞范数的意义 例1.2考虑图1所示具有非结构不确定性的控制糸统。图中P。是标称对象,Δ为不确定性。于是 (s,△)=-8+1 设Δ是任意H∞范数有界的稳定的线性环节。于是‖Δ‖s≤δ意味着Δ的幅频响应曲线(Bode图)总 是位于直线δ的下面,如图1.5所示。把这类Δ叫做非结构不确定性 仍取C=(6s+5)/(s+1).考虑闭环余统的鲁棒稳定性。由于考虑的是亲统的内稳定性,可设r=0 △的输入u△和输出v△之问的关亲为✿ ❀✟❁✑❂❄❃✌❅✟❆✟❇❉❈✄❊✟❋✟●✟❍❉■✌❏✟❑ ▲❉▼❖◆◗P✓❘✌❙✁❚✟❯✁❱✓❲✑❳✑❨✓❩✓❬✁❭✓❪ ❫◗❴✡❵✗❛◗❜ ❝ ❞ ❡ ❢❣❵ ❝✐❤✁❥ ❝ ❦✐❧✑❝❣❤✟❥✡♠ ♥✟♦✑♣✁q❚✟rts✄✉✓❲✓✈✑✇ ❫✝❴②①✑③✟④✟⑤✑③✗⑥t⑦✗⑧✟⑨✁⑩✗❶✓❷❸❫✝❴◗❹✗❺❚✓❲✑❻✗❼✯❽ ❵✓❜ ❾ ❝✐❤✑❿ ❢ ➀ ❜ ❝❣❤✟❥ ❢ ➁➃➂✟➄✌➅ ➆✝➇ ①✑➈✁➉❉⑦✑⑧✓⑨ ❪ ➊②❜ ❝ ❞ ◆ ❢❣❵✓❜ ❝✐❤✁❥ ❢ ❜ ❝ ❦ ❧✌❝✐❤✁❥ ❢➋❤✁❜ ❾ ❝❣❤✗❿ ❢ ❜ ❝✐❤✁❥❣❤ ◆ ❢➃❵✓❜ ❝✐❤✟❥ ❢ ❜ ❝❣❤✗➌ ❢ ❜ ❝✐❤✑➍ ❢➋❤ ◆ ❜ ❾ ❝❣❤✗❿ ❢ ♠ ➎ ◆ ❵✟❡②➏✗❷✑➄✌➅ ➆✝➇q❚✓❲ ➎ ◆ ❵✓❧➐❥ ♠ ➌②➏✗❷❖➊②❜ ❝ ❞ ◆ ❢✡➑✁➒✑➓✁➔✁→✇✗➣✓↔✗❲✌↕ ➎ ◆➛➙ ❧➐❥ ♠ ➌②➏✗❷ ✈ ➔✟➜✁➝✟➞ ➟❷➠➊②❜ ❝ ❞ ◆ ❢➢➡✁➑✁➒✑➓✁➔✁→✇✑➤t➥✑➦✁➧✓❲✌➧✁➨③✁➩✟➫t➭✑❷ ❯✟❱① ❘✑❙✁❚✓r➡✓➯✑➲ ➆✝➇ ① q❚✓r✟❲ ➳ ♦✑♣✁➵✁➸ s✝✉❉❲✝➺✓❯ ♦✗➻✁➼ ❪✗➽✁➾✁➚❉➪ ❷✑➂✗➶✟➹✗➘ ▼✄➴ ➑✗➷✟③✁➅➮➬ ❲✄➱ ➏✗✃✓❐➠❛❮❒➋❜ ❝ ❞ ◆ ❢❣❵✗❛◗❜ ❝ ❞ ◆ ❢ ➀ ❝ ❘✗❰➑ ❘ q❚ ①✟Ï✌Ð ↔✁❬❉Ñ✑❲✗❪✌Ò✓Ó✟Ô➒ ↔ ❷ ◆✝➴✟Õ✟✇❸Ö × Ø Ù✟Ú✟Û✟Ü✟Ý➮Þ ❷✑ß✗à➮á✗â✁ã✟ä✟å✁æ✟ç✟è✟é❉ß✗à❉â✗ê✓ë✁ì✓í✁î✟ï❲✌ð❉ñ✑ò✟óß✗à❉â✗ê✓ë✟ã✟ô✟ã✟ä✟å✁ê❉â✗õ ö❷✝ã✁ä✁å✗ê✁æ✁ç✁÷✟ø✁ù✟ú✁û✟ü✟ý✟þ✁ÿ✁￾✄✂❲✆☎✁✝✄✞✁Ý❷✆✟ð✡✠✄☛✄☞✁✌â✁✍✁✎✁✏✄✑❸❫✝❴✡÷✟ÿ✡￾✁✒✟ä❲✆✓✄✔ Ù✁Ú✁Û✁Ü✁✕✁ÝtÞ ❷✗✖✁ß✗à✓â✗ê✟ë✁✘✁✙✄✚✄✛✓❷✗✖✜✍✁✎✁✏✜✑❸❫✝❴✢â✢✒✟ä✡✣✁✘✁✙✁✚✁✛❲ þ✔✁✤✄✥✄✦✄✧✩★✁✪û✓ã✟ä✟å✁ê❉â✟ß✗à❲✬✫✜✭✡✮å✟ý✰✯✆✱✳✲✁ç❲✗✠✵✴✷✶✜✸å✓â✁✹✁ê❉ß✗à❲✺✴ â✻✯✆✱ ✲✗ç✵✼ ✴✼ ✱ å✁ýð ✼ ✴✼ ✱✾✽ ❵✡✿ ❀ ❀❁❀❂❃ ❄✻❅❆❈❇❉ ❜ ❊❋✐❢ ● ❞ ❜ ❥ ❍ ❥ ❢ Ù✄■ ❅❆❈❇ ❏ ● ✶✄❑✾▲â✡▼✄◆✄❖✜P✁◗❲ ✼ ✴✼ ✱ â✗ü✓ý✁❘✓þ❲✗✠✵✴ â✡❙Ú✄❚✄❯✄❱✄❲✺❳❩❨ ❜ ❬ ❢ ✶✾❭✢❪✄❫â✡❴✜❵❱✄❲❷ ❛✜✸✄❜✜❝❙Ú✄❚✾❞✢❱✄❲❢❡❣ ❜ ❬ ❢ ✶✄❤✄❚✄❯✾❭✢❪✄❫â✡❴✜❵❱✁❲❉❲✗✐❦❥❧ ❜ ❊❋✐❢ ❤♠❥♥ ❜ ❊❋✐❢♣♦✄q✶ ❧ ❜ ❬ ❢ ❤ ♥ ❜ ❬ ❢❮â✡r✟ç s✁t❷ ❛✁✧ ❥♥ ❜ ❊❋✐❢✐❵ ❉ ❜ ❊❋✐❢ ❥❧ ❜ ❊❋✐❢✱❞ ✉á✈❋ ✶❴✄❵❱✁❲â❪✄❫✓❲ ß✗à✁✖❪✁❫✄✶ ❋❉â✢❴✄❵❱✁❲â✡✇✁◆✄✟✄①✟å✁ýð ②④③⑤ ✼ ❥♥ ❜ ❊❋✐❢ ✼ ❦ ✼ ❥❧ ❜ ❊❋✐❢ ✼ ❦ ♠ ⑥✜⑦ótÞ ❷ ✓✁⑧✳⑨◗ð ❅❆❈❇❉ ❜ ❊❋✐❢ ● ❍❶⑩✶❷❷✼ ✴ ✼ ✱✾❸✄❹✓✁✶ß✑à✁✖✁❴✜❵❚✄❯â✡▼✁◆✁❺✄❻✓❷✆❼⑥✜⑦✢❽✁❾ð✁❿✁➀ ß✑à➂➁◆✄✂✢➃②â✪✗Ú✁➄✣❲✢➅❢✴✈✶✁➆ï➀ß✑à❝❷✺✼ ✴ ✼ ✱➈➇ ✴ â✁➉❪✓ö÷✁➊✁ê❉â✢▼✄◆✁◗❉❷✬➋✩➌❸❥ ❍ ➍ ❍ ➍ ➍ ➎➏ ➍➎ ➐ ➍➎ ➑ ➍➎➒ ➓ ➓ ➎➏ ➓ ➎ ➐ ➓ ➎ ➑ ➓ ➎➒ ➏ ➍ ➍➎ ➔ ➓ ➓ ➎ ➔ →✳➣ ↔ ↕ ➙❶➛➝➜✁➞④➟✗➠➢➡➥➤ ➦➂➧❩➨ ➩ ♦✑♣✾➫ × Ø ➭④➯✁➲✡➳➑✜➵✢➸✁➺ ❘✌❙✟❚✟r ①✗➶✟➹ ➆✝➇✟❲ ➫ ▼ ❫✝❴ P✗❨✟❩✟❬✁❭❷❢➻ ❪✁❘✌❙✁❚✟r✟❲✗✇✑P ❛◗❜ ❝ ❞ ➻✌❢❣❵ ❝✐❤✁❥ ❝ ❦✐❧✌❝✐❤✟❥ ❤✢➻ ♠ ➺ ➻ P✡➼✄➽ ✯✆✱❷➾❱➑✢➚❉① q❚ ①✁➪r➅t➬ ❲✑✇✗P ✼ ➻✄✼ ✱✳➶ ◆➢➽✡➹✜➘ ➻ ①✁➴✡➷✗➲➴✾➬ ➪ ❜ ➮❈➱ ✃✿✆➌✌❢❒❐ P→✇✁❮ ➪ ◆ ①✡❰✜Ï✑❷✬Ð ➫ × Ø Ñ④➯✁➲✁❲✰Ò✁Ô✩Ó ➻ÕÔ✢Ö✩➵✢➸✁➺ ❘✑❙✁❚✓r✟❲ ×❼ ❽ ❵✓❜ ❾ ❝❣❤✌❿ ❢ ➀ ❜ ❝➃❤✗❥ ❢ Ø ♦✑♣ ➄✌➅ ➆✝➇ ①✁Ø✢Ùq❚✟r✟❲✗✈✑✇ ♦✑♣ ① P ➆✝➇ ①✾Ú q❚✟r ❷✝❹➺➂Û ❵✄Ü Ø ➻❸① ➻✁➼ ❧ÞÝ ⑤➻➈ß ♥ Ý✁à✾á ①✄â ➆✄❪ ❧ÞÝ ❵✟❧ ❽ ❜ ♥ Ý ❤✗❫◗❴ ❧♣Ý ❢ ♠