sin( nT t =∑(-1 )"sin t 因为im一1=z,又因为∑(-1),条件收敛,所以原级数条件收敛 阻1设正项数列单调下∑n发明级数∑“)收数 2设正项数列{n},b}满足b,2-bn2(6>0为常数证明:级数∑a收敛 证明:1.因为正项数列{an}单调下降,且∑(-1)”an发散,由莱布尼兹判别法 lim a=a存在,且a≠0.容易证明:Vn,an>a,(反设存在N,使得ax<a.则 a>aN>aN+ 令k→∞,得到a>ax≥a,矛盾).所以 1-a=an-m<aa.因为∑二收敛所以∑(-)收敛 2.考察数列{b。an},因为bn-bn≥6(6>0为常数),所以 bnan-bnan≥an1>0,即该数列递减有下界,于是 lim b a存在.由此推出 b,an-bnan+1)收敛 han-hnan,所以级数>a收敛 五.求下列级数的收敛域: 1.∑(3"+vn)x-1)2 解.∑(3"+x-12=∑3x-132+∑Ⅵn(x-1)2 第一个级数的收敛半径为,第二个级数的收敛半径为1.所以它们的共同收敛区域为 (1-÷=1+一)考察端点解.   • = • = + = - 1 1 sin( ) ( 1 ) sin  n n n n  n  n p p p .  因为 p p = Æ• n  n  n 1  sin  lim  ,  又因为 • = - 1 1  ( 1 ) n n n ,  条件收敛,  所以原级数条件收敛.  四. 1.设正项数列{ }  n a  单调下降,  且 • = - 1 ( 1 ) n n n a  发散,  证明:  级数 • = + - 1 1 (1  ) n n na  a  收敛.  2.  设正项数列{ }  n a ,  { }  n b  满足 ( 0  1 1 - + ³ > + d d n n n n b  a  a  b  为常数),  证明:  级数 • n=1 a n 收敛.  证 明 :  1.  因为 正项 数列 { }  n a  单 调 下降 ,  且  • = - 1 ( 1 ) n n n a  发 散 ,  由莱 布 尼兹 判别 法 , a  a  n n = Æ• lim  存在,  且a ¹ 0 .  容易证明: n  a  a  " , n > .(反设存在 N,  使得a  a  N < .  则 N N N k  a a  a  a  > > + 1 > L > + ,  令k Æ • ,  得到a  a  a  > N ³ ,  矛盾).  所以 a  a  a  a  a  a  a  a  n n n n n n n 1 1 1 1 + + - + < - - = .  因为 • = - + 1 1 n n n a  a  a  收敛,  所以 • = + - 1 1 (1  ) n n na  a  收敛.  2.  考 察 数 列 { }  n n b a  ,  因 为 ( 0  1 1 - + ³ > + d d n n n n b  a  a  b  为 常 数 ),  所 以 0  bna n - b n+1a n+ 1 ³ da n+ 1 > ,  即 该 数 列 递 减 有 下 界 ,  于 是 n n n b a  Æ• lim  存 在 .  由 此 推 出  • = - + + 1 1 1 ( ) n b na n b n a n 收敛. d 1 1 1 + + + - < n n n n n b a b a a ,  所以级数 • n=1 a n 收敛.  五.  求下列级数的收敛域:  1.  • = + - 1 3 2 (3  )( 1 ) n n n n  x  解.    • = • = • = + - = - + - 1 3 2 1 2 1 3 2 (3  )( 1 ) 3  ( 1 ) ( 1 ) n n n n n n n n n  x  x  n  x  第一个级数的收敛半径为 3  1  ,  第二个级数的收敛半径为 1.  所以它们的共同收敛区域为 ) 3  1  ,1  3  1  (1 - + .  考察端点: