所确定.这函数对运动过程中所出现的t值有定义,称为位置函数.在最简单的情形,该动 点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说,无论取哪一段时间间隔,比值 经过的路程 花的时间 总是相同的.这个比值就称为该动点的速度,并说该点作匀速运动如果运动不是匀速的 那么在运动的不同时间间隔内,比值①会有不同的值.这样,把比值①笼统地称为该动点的速 度就不合适了,而需要按不同时刻来考虑那么,这种非匀速运动的动点在某一时刻(设为 )的速度应如何理解而又如何求得呢? 首先取从时刻4到t这样一个时间间隔,在这段时间内,动点从位置5=/()移动到 5,=f()这时由①式算得的比值 f()-f(t0) 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短,这个比值②在实践中也 可用来说明动点在时刻的速度.但对于动点在时刻的速度的精确概念来说,这样做是不够 的,而更确切地应当这样:令→0,取②式的极限,如果这个极限存在,设为v,即 mn型)-n) vt-t,这时就把这个极限值v称为动点在时刻的(瞬时)速度 导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=f(x)在点不的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量△x (点不0+△x仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量4y=f(x0+△x)-f(x)如果4y 与△x之比当△x→>0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数,记为y1-,即 4y_f(x+△x)-f(o) 4AM-0△xx0 df(x)I 也可记作(),或 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点不0具有导数或导数存在 导数的定义式③也可取不同的形式,常见的有 f(xo) Co 和 lim f(a)-/(xo) 如果函数y=f(x)在开区间内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导 求导举例 例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解()= f(x+h) -f(x) 即(C)=0.这就是说,常数的导数 等于零 例2求函数f(x)=x2(n为正整数)在x=a处的导数 解: f(x)-ffa) A-c① ② ③ ④ ⑤ 所确定.这函数对运动过程中所出现的 值有定义，称为位置函数.在最简单的情形，该动 点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说，无论取哪一段时间间隔，比值 经过的路程 所花的时间 总是相同的.这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速的， 那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值.这样，把比值①笼统地称为该动点的速 度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑.那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为 ）的速度应如何理解而又如何求得呢？ 首先取从时刻 到 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 移动到 .这时由①式算得的比值 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也 可用来说明动点在时刻 的速度.但对于动点在时刻 的速度的精确概念来说，这样做是不够 的，而更确切地应当这样：令 ,取②式的极限，如果这个极限存在，设为 ，即 ，这时就把这个极限值 称为动点在时刻 的（瞬时）速度. 二、导数的定义 1．函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函 数 在点 处的导数，记为 ，即 也可记作 ， 或 . 函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在. 导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有 和 2．求导举例 例 1 求函数 （ 为常数）的导数. 解： ，即 .这就是说，常数的导数 等于零. 例 2 求函数 （ 为正整数）在 处的导数. 解：