2、结合律：若a,b,c∈G,则(aob)oc=ao(boc). 3、恒等元e:a∈G,有e∈G,使aoe=eoa=a。 4、逆元a,a∈G,有aeG,使aoa=a'oa=e 则G构成一个群。 同时满足条件1,2，G构成一个半群：同时满足条件1,2,3，G构成一个弱群。 交换群(Abel群)：若群G中，a,b∈G,aob=boa,则称G为交换群。 环：非空集合R中，定义两种代数运算：加，乘：且满足： 1、集合R对加法构成Abel群， 2、乘法有封闭性 3、乘法集合律成立。 4、加法，乘法之间有分配律。 域：非空集合F,定义两种代数运算：加，乘：且满足： I、集合F对加法构成Abel群，恒元为O。 2、集合F中非零元素构成乘法AbCl群 3、加法，乘法之间有分配律。 有限域：域，其元素的个数有限，称为有限域。元素的个数称为阶。记为GF(q),即9阶 有限域。有限域也称为Galois域。 例：GF(2):10以，模2加，模2乘，枸成2阶有限域。 GF(2*):k维矢最集合构成的有限域，矢最的元素是2元的。 四、线性空间 线性空间：若域F上的n重元素集合V,满足2、 结合律：若a,b, c ∈ G ，则(a οb) οc = a ο(b οc) 。 3、 恒等元e ：∀a ∈G ，有e∈G ，使a οe = e οa = a 。 4、 逆元 , ，有 ，使 . −1 a ∀a ∈G a ∈G −1 a a = a a = e − − ο ο 1 1 则G 构成一个群。 同时满足条件 1，2，G 构成一个半群；同时满足条件 1，2，3，G 构成一个弱群。 交换群（Abel群）：若群G 中，∀a,b ∈G ，a οb = b οa ，则称G 为交换群。 环：非空集合 R 中，定义两种代数运算：加，乘；且满足： 1、 集合 R 对加法构成Abel群。 2、 乘法有封闭性 3、 乘法集合律成立。 4、 加法，乘法之间有分配律。 域：非空集合 F ，定义两种代数运算：加，乘；且满足： 1、 集合 F 对加法构成Abel群，恒元为 0。 2、 集合 F 中非零元素构成乘法Abel群。 3、 加法，乘法之间有分配律。 有限域：域，其元素的个数有限，称为有限域。元素的个数称为阶。记为 ，即 阶 有限域。有限域也称为Galois域。 GF(q) q 例：GF(2) ：{ } 1,0 ，模 2 加，模 2 乘，构成 2 阶有限域。 (2 ) k GF ：k维矢量集合构成的有限域，矢量的元素是 2 元的。 四、线性空间 线性空间：若域 F 上的 n 重元素集合V ，满足