代数基础 、代数系统 群元素，a,b,c,构成集合R 2、集合R中定义了运算，运算是元素之间的关系。 3、集合中有一等价关系。 4、有一组假定。 二、同态与同构 映射：集合A,集合B,若存在对应法则P,Va∈A,都能唯一确定B中的一个元素b与 之对应，称？是集合A到集合B的一个映射。 记为：p:a→b；p(a)=b 满射：P是集合A到集合B的一个映射，如果对于任意一个b∈B,存在a∈A,使 b=p(@),则称P是集合A到集合B的满射· 单射：P是集合A到集合B的一个映射，如果在P之下，对于集合A中的不同元素，在集 合B中都有不同的像，则称P是集合A到集合B的单射。 双射（一一映射）：若P既是单射，又是满射，则称为双射，也称一一映射。 同态映射：设P是集合A到集合B的一个映射，若满足条件： a·b=oa)o(b).a,b∈A.oa)·b)∈B 则称P是集合A到集合B的同态映射，集合A与集合B同态 同构映射：如果同态映射P是单射，称为同构映射。集合A与集合B同构。 三、群，环，域 群：G为非空集合，并在G内定义一种代数运算，若满足： 1、封闭性：a,b∈G,恒有aob∈G
代数基础 一、代数系统 1、 由一群元素，a，b，c，.，构成集合 R。 2、 集合 R 中定义了运算，运算是元素之间的关系。 3、 集合中有一等价关系。 4、 有一组假定。 二、同态与同构 映射：集合 A ，集合 B ，若存在对应法则ϕ ，∀a ∈ A，都能唯一确定 B 中的一个元素b 与 之对应，称ϕ 是集合 A 到集合 B 的一个映射。 记为：ϕ : a → b ； ϕ(a) = b 满射： ϕ 是集合 A 到集合 B 的一个映射，如果对于任意一个 b∈ B ，存在 a ∈ A ，使 b = ϕ(a) ，则称ϕ 是集合 A 到集合 B 的满射。 单射：ϕ 是集合 A 到集合 B 的一个映射，如果在ϕ 之下，对于集合 A 中的不同元素，在集 合 B 中都有不同的像，则称ϕ 是集合 A 到集合 B 的单射。 双射（一一映射）：若ϕ 既是单射，又是满射，则称为双射，也称一一映射。 同态映射：设ϕ 是集合 A 到集合 B 的一个映射，若满足条件： ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a)⋅ϕ(b) ， a,b ∈ A，ϕ(a)⋅ϕ(b) ∈ B 。 则称ϕ 是集合 A 到集合 B 的同态映射，集合 A 与集合 B 同态。 同构映射：如果同态映射ϕ 是单射，称为同构映射。集合 A 与集合 B 同构。 三、群，环，域 群：G 为非空集合，并在G 内定义一种代数运算，若满足： 1、 封闭性：∀a,b ∈G ，恒有 a οb∈G
2、结合律：若a,b,c∈G,则(aob)oc=ao(boc). 3、恒等元e:a∈G,有e∈G,使aoe=eoa=a。 4、逆元a,a∈G,有aeG,使aoa=a'oa=e 则G构成一个群。 同时满足条件1,2，G构成一个半群：同时满足条件1,2,3，G构成一个弱群。 交换群(Abel群)：若群G中，a,b∈G,aob=boa,则称G为交换群。 环：非空集合R中，定义两种代数运算：加，乘：且满足： 1、集合R对加法构成Abel群， 2、乘法有封闭性 3、乘法集合律成立。 4、加法，乘法之间有分配律。 域：非空集合F,定义两种代数运算：加，乘：且满足： I、集合F对加法构成Abel群，恒元为O。 2、集合F中非零元素构成乘法AbCl群 3、加法，乘法之间有分配律。 有限域：域，其元素的个数有限，称为有限域。元素的个数称为阶。记为GF(q),即9阶 有限域。有限域也称为Galois域。 例：GF(2):10以，模2加，模2乘，枸成2阶有限域。 GF(2*):k维矢最集合构成的有限域，矢最的元素是2元的。 四、线性空间 线性空间：若域F上的n重元素集合V,满足
2、 结合律：若a,b, c ∈ G ，则(a οb) οc = a ο(b οc) 。 3、 恒等元e ：∀a ∈G ，有e∈G ，使a οe = e οa = a 。 4、 逆元 , ，有 ，使 . −1 a ∀a ∈G a ∈G −1 a a = a a = e − − ο ο 1 1 则G 构成一个群。 同时满足条件 1，2，G 构成一个半群；同时满足条件 1，2，3，G 构成一个弱群。 交换群（Abel群）：若群G 中，∀a,b ∈G ，a οb = b οa ，则称G 为交换群。 环：非空集合 R 中，定义两种代数运算：加，乘；且满足： 1、 集合 R 对加法构成Abel群。 2、 乘法有封闭性 3、 乘法集合律成立。 4、 加法，乘法之间有分配律。 域：非空集合 F ，定义两种代数运算：加，乘；且满足： 1、 集合 F 对加法构成Abel群，恒元为 0。 2、 集合 F 中非零元素构成乘法Abel群。 3、 加法，乘法之间有分配律。 有限域：域，其元素的个数有限，称为有限域。元素的个数称为阶。记为 ，即 阶 有限域。有限域也称为Galois域。 GF(q) q 例：GF(2) ：{ } 1,0 ，模 2 加，模 2 乘，构成 2 阶有限域。 (2 ) k GF ：k维矢量集合构成的有限域，矢量的元素是 2 元的。 四、线性空间 线性空间：若域 F 上的 n 重元素集合V ，满足
1、V关于加法构成Abel群。 2、V中任何元素v和F中任何元素C,有cy∈V。称'中元素v为矢量，F中元素c为 标量，称乘C运算为数乘。 3、分配律成立：u,v∈V,c,deF,有c(u+)=cu+cy,(c+d)p=cn+dm. 4、若c,deF,veV,有c=c():lv=v,其中1eF。 则称V是域F上的一个n维线性空间。记为？。 子空间：若子集匕CV,且满足线性空间的条件，则称八是V的一个子空间。 零空间（零化子空间）：若八是n维空间V的一个子空间，则和匕中每个n维矢量均正交的 所有矢量构成P的另一个子空间V,称为的零空间。此时，若的维数是k,则V的 维数是n一k。若矢最u和张称的矢最集合{出，2，：}中的每一个矢最正交，则u在 的零空间中
1、 V 关于加法构成Abel群。 2、 V 中任何元素 v 和 F 中任何元素c ，有 cv ∈V 。称V 中元素 为矢量， 中元素 为 标量，称乘 运算为数乘。 v F c c 3、 分配律成立：∀u, v ∈V ，c, d ∈ F ，有c(u + v) = cu + cv ，(c + d)v = cv + dv 。 4、 若c, d ∈ F ，v ∈V ，有cdv = c(dv) ；1v = v ，其中1∈ F 。 则称V 是域 F 上的一个 n 维线性空间。记为 。 n VF 子空间：若子集V1 ⊂ V ，且满足线性空间的条件，则称V1 是V 的一个子空间。 零空间（零化子空间）：若V1 是n 维空间V 的一个子空间，则和V1 中每个 n 维矢量均正交的 所有矢量构成V 的另一个子空间 ，称为 的零空间。此时，若 的维数是 ，则 的 维数是 。若矢量 V2 V1 V1 k V2 n − k u 和张称V1 的矢量集合{v1 ,v2 ,.,vk }中的每一个矢量正交，则u 在 的零空间中。 V1