3-3周期信号的频谱 一、周期信号的频谱 一个周期信号)，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其 各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展 开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画 出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种 方式。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与類率关系 的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边须谱和双边 频谱。 1单边频谱 若周期信号)的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即 f0=4+∑Acos60+,）3-20 司 则对应的振幅频谱A和相位频谱？。称为单边频谱。 例3-3求图3-4所示周期矩形信号f()的单边频谱图。 解由()波形可知，()为偶函数，其傅里叶系数 a=0h=月 .f()cosnd=2sin(m/) nπ b=0
3-3 周期信号的频谱 一、 周期信号的频谱 一个周期信号 f (t)，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其 各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展 开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画 出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种 方式。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系 的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边 频谱。 1 单边频谱 若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即 ∑ ∞ = = + Ω + 1 0 ( ) cos( ) n n n f t A A n t ϕ (3-24) 则对应的振幅频谱 An 和相位频谱ϕ n 称为单边频谱。 例 3-3 求图 3-4 所示周期矩形信号 f (t)的单边频谱图。 解 由 f (t)波形可知， f (t)为偶函数，其傅里叶系数 ∫ = = / 2 0 0 2 1 ( ) 4 T f t dt T a ∫ = Ω = / 2 0 2sin( / 4) ( ) cos 4 T n n n f t n tdt T a π π bn = 0 故
因此 4 即 4=0.45 43*0.32 A3≈0.15 A4=0 4≈0.09 4。≈0.106 单边振幅频谱如图3-5所示。 025 29 106 -T/20T/24 022232425262702 图3-4 图3-5 2双边频谱 若周期信号)的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即 f0)=rem6-2) 则F与n2所描述的振幅频谱以及F,的相位arctanF。=0.与n2所描述的相位频谱 称为双边频谱。 例3-4画出图3-4所示矩形周期信号（四的双边频谱图形。 解由式(3-18)和图3-4可知
∑ ∑ ∞ = ∞ = = + Ω = + Ω 1 1 0 cos 2sin( / 4) 4 1 cos 2 ( ) n n n n t n n a n t a f t π π 因此 4 1 A0 = , π π n n An 2sin( / 4) = 即 0.45 A1 = , 0.32 A2 ≈ , A3 ≈ 0.15 , 0 A4 = , A5 ≈ 0.09 , A6 ≈ 0.106 ┅ 单边振幅频谱如图 3-5 所示。 t f(t) 图 3 - 4 −4τ −τ /20τ /2 4τ 1 图 3 - 5 0.25 0.45 0.32 0.15 0.09 0.106 0 Ω2Ω3Ω4Ω5Ω6Ω7Ω An 2 双边频谱 若周期信号 f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即 ( ) ∑ (3 - 25) ∞ =−∞ Ω = n jn t n f t F e 则 Fn 与 nΩ 所描述的振幅频谱以及 Fn 的相位 Fn = θ n arctan 与 nΩ 所描述的相位频谱 称为双边频谱。 例 3-4 画出图 3-4 所示矩形周期信号 f (t)的双边频谱图形。 解 由式(3-18)和图 3-4 可知
E-10e-×2sm四 4 -号，=025.a=0159.R=075 F4=0F5=-0.045.F6=0.053 故Fn,arctan F的双边频谱图如图3-6所示。 F 025 0225159 9● -50-32-2023030 >0 AarctanF ◆◆ 50300023030 →0 图3-6 从上例谱图上可以看出，单边振幅频谱是指A=2F与正n值的关系，双边振 幅频谱是指F与正负n值的关系。应注查F=F,所以将双边振幅频诺F”围 绕纵轴将负”一边对折到n一边，并将振幅相加，便得到单边振幅频谱。 当F为实数，且)各谐波分量的相位为零或士，图形比较简单时，也可将振 幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例3-4中()的频谱可用F。与2关系图形反 映，如图3-7所示
∫− − Ω = = × / 2 / 2 4 2sin( / 4) 4 1 ( ) 1 T T jn t n n n f t e dt T F π π 4 1 F0 = , 0.225 F±1 = , 0.159 F±2 = , F±3 = 0.075 0 F±4 = , F±5 = −0.045, F±6 = 0.053. 故 Fn , Fn arctan 的双边频谱图如图 3-6 所示。 图 3 - 6 0.25 0.225 0.159 0.075 0.045 ω -5Ω -3Ω -Ω 0 Ω 3Ω 5Ω Fn ω -5Ω -3Ω -Ω 0 Ω 3Ω 5Ω Fn arctan 从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指 An Fn = 2 与正 n 值的关系，双边振 幅频谱是指 Fn 与正负 n 值的关系。应注意 Fn = F−n ，所以将双边振幅频谱 F n n − 围 绕纵轴将负 n 一边对折到 n 一边，并将振幅相加，便得到单边振幅 An频谱。 当 Fn 为实数，且 f (t)各谐波分量的相位为零或±π，图形比较简单时，也可将振 幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例 3-4 中 f (t)的频谱可用 Fn 与 nΩ 关系图形反 映，如图 3-7 所示
● -70-50 6042-3-02 32 5279→0 图3.7 3周期信号频谱的特点 图3-7反映了周期矩形信号频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱 的普遍性质，这就是： (1)离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线 谱。 幻酱波性。指各次谐波分量的频率都是基波频幸Q=千的整数修，丽月 波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是2的整数倍。 (3)收敛性。指谱线幅度随”→∞而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性。 二、周期信号的有效频谱宽度 在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的 应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度 之间的图3-8关系。 f -x/20x2 图3-8 图3-8所示信号(0的脉冲宽度为t,脉冲幅度为E,重复周期为T,重复角频率
0.25 ω -4Ω-3Ω -Ω 0 Ω 3Ω Fn −7Ω−5Ω 5Ω 7Ω 图 3 - 7 3 周期信号频谱的特点 图 3-7 反映了周期矩形信号 f (t)频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱 的普遍性质，这就是： (1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线 谱。 (2) 谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率 T 2π Ω = 的整数倍，而且相邻谐 波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是Ω 的整数倍。 (3) 收敛性。指谱线幅度随 n → ∞ 而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性. 二、 周期信号的有效频谱宽度 在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的 应用。下面以图 3-8 所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度 之间的图 3-8 关系。 t f(t) 图 3 - 8 E ． ． ． ． ． ． −T −τ / 20τ / 2 T 图 3-8 所示信号 f (t)的脉冲宽度为τ ，脉冲幅度为 E ，重复周期为T ，重复角频率
为n号 若将f0展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得 E=em=s( (3-26 T 在这里F,为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。 -72-52 5279→0 。e42-32-20232.6 图3-9 由此图可以看出： 田周用哈号台是商原.两闲为0：兰。 (2)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅E和脉宽T,反比于周期T, sin x 其变化受包络线x的牵制。 学空 【称为零 分量频率。 (④)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主 能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常邦0=0、7 T这段频率范围称为矩形 信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作
为 T 2π Ω = 。 若将 f (t)展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得 ∫− − Ω Ω = = / 2 / 2 ) 2 ( 1 τ τ τ n τ S T E Ee T F a jn t n (3-26) 在这里 Fn 为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图 3-9 所示。 ω -4Ω-3Ω -Ω 0 Ω 3Ω Fn −7Ω−5Ω 5Ω 7Ω 图 3 - 9 Eτ /T 由此图可以看出： (1) 周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为 T 2π Ω = 。 (2) 直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅 E 和脉宽τ ，反比于周期T ， 其变化受包络线 x sin x 的牵制。 (3) 当 ( 1, 2 ) 2 = m = ± ± ⋅⋅⋅ m τ π ω 时，谱线的包络线过零点。因此 2 τ π ω m = 称为零 分量频率。 (4) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主 要能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常把 τ π ω 2 = 0 ~ 这段频率范围称为矩形 信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作 或
3-2) 显然，有效频谱宽度B只与脉冲宽度t有关，而且成反比关系。有效频谱宽度是研 究信号与系统频率特性的重要内容，要使信号通过线性系统不失真，就要求系统本身所 具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。 对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占有顿带。 三、周期信号频谱与周期T的关系 下面仍以图3-8所示的周期矩形信号为例进行分析。因为 所以在脉冲宽度t保持不变的情况下，若增大周期T,则可以看出： )高放请线的阿用0宁方 T将变小，即谱线变密。 (2②)各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢 (3)由于【不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变 图3-10给出了脉冲宽度t相同而周期T不同的周期矩形脉冲信号的频谱。由图可 见，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期T增大时，频谐线变密，即在信号 占有须带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时，()变为非周期信号， 相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号的离散频谱过渡到非周 期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论
= = τ τ π ω 1 2 Bf B (3-27) 显然，有效频谱宽度 B 只与脉冲宽度τ 有关，而且成反比关系。有效频谱宽度是研 究信号与系统频率特性的重要内容，要使信号通过线性系统不失真，就要求系统本身所 具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。 对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占有频带。 三、 周期信号频谱与周期T 的关系 下面仍以图 3-8 所示的周期矩形信号为例进行分析。因为 ) 2 ( τ Ωτ = n S T E Fn a 所以在脉冲宽度τ 保持不变的情况下，若增大周期T ，则可以看出： (1) 离散谱线的间隔 T 2π Ω = 将变小，即谱线变密。 (2) 各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。 (3) 由于τ 不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。 图 3-10 给出了脉冲宽度τ 相同而周期T 不同的周期矩形脉冲信号的频谱。由图可 见，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期T 增大时，频谱线变密，即在信号 占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时， f (t)变为非周期信号， 相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号的离散频谱过渡到非周 期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论
木f) T=2t T27>1 E12 22>1 T=4 F Et/T -2rr :2π/r -30-22-2022030◆>" Af) T=8r Fn /7 ●】 π/T 图3-10
t f(t) E ． ． ． ． ． ． -T 0 T T =8τ 图 3 - 10 t f(t) E ． ． ． ． ． ． -2T -T 0 T 2T T = 2τ t f(t) E ． ． ． ． ． ． -T 0 T T = 4τ −2π /τ -3Ω -2Ω -Ω 0 Ω 2Ω 3Ω Fn Eτ /T 2π /τ w Fn Eτ /T −2π /τ 2π /τ −Ω0 Ω w E/ 2 −2π /τ Ω Ω 2π /τ 0 w Fn
如果保持周期矩形信号的周期T不变，而改变脉冲宽度T，则可知此时谱线间隔不 成小：，侧信号缬谱中的第一个零分量频率？增大，即信县】 大，同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含的谐波分量增大。并 且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若π增大，则反之。 四、周期信号的功率谱 周期信号0的平均功率可定义为在12电阻上消耗的平均功率，即 P=7%f0ha-28 周期信号0的平均功率可以用式(3-28)在时域进行计算，也可以在频域进行计 算。若)的指数型傅里叶级数展开式为 f0=∑Fe 则将此式代入式(3-28)，并利用F的有关性质，可得 P=7∫0d=立r3-29) 该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。它表明周期信号的平均功率完全可以在频域用 F,加以确定。实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和 各次谐波平均功率分量之和。F与Q的关系称为周期信号的功率频盖，简称为功率 谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。 例3-5试求图3-8所示周期矩形脉冲信号)在有效频谱宽度内，谐波分量所具 有的平药功车古整个信号平约功幸的分比。设5=17=子=动 解因为
如果保持周期矩形信号的周期T 不变，而改变脉冲宽度τ ，则可知此时谱线间隔不 变。若减小τ ，则信号频谱中的第一个零分量频率 2 τ π ω = 增大，即信号的频谱宽度增 大，同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含的谐波分量增大。并 且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若τ 增大，则反之。 四、 周期信号的功率谱 周期信号 f (t)的平均功率可定义为在1Ω 电阻上消耗的平均功率，即 ∫− = / 2 / 2 2 ( ) 1 T T f t dt T P (3-28) 周期信号 f (t) 的平均功率可以用式(3-28)在时域进行计算，也可以在频域进行计 算。若 f (t)的指数型傅里叶级数展开式为 ∑ ∞ =−∞ Ω = n jn t n f (t) F e 则将此式代入式(3-28)，并利用 Fn 的有关性质，可得 2 / 2 / 2 2 ( ) 1 ∫ ∑ ∞ =−∞ − = = n n T T f t dt F T P (3-29) 该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。它表明周期信号的平均功率完全可以在频域用 Fn 加以确定。实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和 各次谐波平均功率分量之和。 2 Fn 与nΩ 的关系称为周期信号的功率频谱，简称为功率 谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。 例 3-5 试求图 3-8 所示周期矩形脉冲信号 f (t)在有效频谱宽度内，谐波分量所具 有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。设 20 1 , 4 1 E = 1,T = τ = 。 解 因为
作出频谱和功率谱图，如图3-11所示。第一个零分量频率为 a,-2=40z 所以在信号频谱宽度内，包含一个直流分量和四个谐波分量。 1/5 -48z 48元0 32i6n016r32。 1/25 ● ● 48π>0 。-32m-16n016r32元●。 图3-11 周期信号的平均功率为 P=7%f0h=02w 在有效频谱宽度内信号的平均功率为 Pa=Fo+2F+++= 京+是5，(9+5（受）+S,妈y=0.1806m 会-01s6-09 0.2
/ 5 sin( / 5) 5 1 ) 2 ( π τ τ π n n n S T E Fn a = Ω = 作出频谱和功率谱图，如图 3-11 所示。第一个零分量频率为 π τ π ω 40 2 0 = = 所以在信号频谱宽度内，包含一个直流分量和四个谐波分量。 ω Fn 1/5 −48π 48π -32π-16π 0 16π 32π ω 2 Fn 1/ 25 −48π 48π -32π-16π 0 16π 32π 图 3-11 周期信号的平均功率为 f t dt W T P T T ( ) 0.2 1 / 2 / 2 2 = = ∫− 在有效频谱宽度内信号的平均功率为 = + 2{ + + + } = 2 4 2 3 2 2 2 1 2 PB F0 F F F F Sa Sa Sa )} 0.1806W 5 4 ) ( 5 3 ) ( 5 { ( 5 2 5 1 2 2 2 2 2 + + + = π π π 故 0.9 0.2 0.1806 = = P PB
从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内的信号 平均功率约占整个信号平均功率的90%
从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内的信号 平均功率约占整个信号平均功率的 90%