附录A 带通信号和信道的表示 通信系统中的许多信号都是实带通信号，其频域表达以载波频率 ￡为中心，覆盖一个窄的带宽2B,2B<f,如图A1所示。由于带 通信号是实的，故它们的频域表达具有共轭对称性，即，带通信号s), 其S列=S(-),∠Sf)=-∠S(-)。然而，带通信号不必一定在其信 号带宽内关于载频∫共轭对称，也就是说，当f≤B时，我们可以有 Sf+f≠S.-f)或者∠Sf+)≠-∠Sf-)。这种不对称性参见图 A1。基带信号用载波调制，确定信号或者随机信号用带通滤波器滤 波，都可以产生带通信号。带通信号的带宽2B大致为周围信号幅 度不被忽略的频率范围。带通信号通常用作通信系统中发送信号和接 收信号的模型。由于传输电路只能产生实的正弦函数，信道对实传输 信号只能引入幅度和相位的变化，因而它们是实信号。 我们用下述形式表示一个载频为的带通信号s): s)=s,()cos(2πjf)-so0sin(2πf0,(A.1) 其中，s,)和s)是带宽B<∫的低通（基带）信号。这是带通信号 的一个通常的表示。实际上，诸如MPSK和MQAM这样的调制，通 常用这个表达形式描述。我们称s,)为s)的同相分量，s)为s)的 正交分量。定义复信号)=s,0+so0，于是s,0={u0}, so)=5uu);。)是一个带宽为B的复低通信号。通过上述定义，可 以得到：
附录 A 带通信号和信道的表示 通信系统中的许多信号都是实带通信号，其频域表达以载波频率 cf 为中心，覆盖一个窄的带宽2B ，2B c << f ，如图 A1 所示。由于带 通信号是实的，故它们的频域表达具有共轭对称性，即，带通信号 ， 其 s t( ) Sf S f () ( ) = − ， 。然而，带通信号不必一定在其信 号带宽内关于载频 ∠ = −∠ − Sf S f () ( ) cf 共轭对称，也就是说，当 f ≤ B 时，我们可以有 ( )( c c Sf f Sf f +≠ − ) ) 或者 c 。这种不对称性参见图 A1。基带信号用载波调制，确定信号或者随机信号用带通滤波器滤 波，都可以产生带通信号。带通信号的带宽 () ( c ∠ + ≠ −∠ − Sf f Sf f 2B 大致为 cf 周围信号幅 度不被忽略的频率范围。带通信号通常用作通信系统中发送信号和接 收信号的模型。由于传输电路只能产生实的正弦函数，信道对实传输 信号只能引入幅度和相位的变化，因而它们是实信号。 我们用下述形式表示一个载频为 cf 的带通信号 ： s t( ) ( ) ( ) cos(2 ) ( )sin(2 ) I cQ st s t ft s t ft = − π π c ， （A.1） 其中，s t I ( )和s t Q ( )是带宽B c << f 的低通（基带）信号。这是带通信号 的一个通常的表示。实际上，诸如 MPSK 和 MQAM 这样的调制，通 常用这个表达形式描述。我们称 为 的同相分量， 为 的 正交分量。定义复信号 ( ) I s t s t( ) ( ) Qs t s t( ) () () () I Q u t s t js t = + ，于是 ， 。 是一个带宽为 ( ) { ( )} I s t ut = ℜ ( ) { ( )} Qs t ut = ℑ u t( ) B 的复低通信号。通过上述定义，可 以得到：
s0)=R{u)}cos(2xf）-3u0}sin(2πf)=R{u)e2 (A.2) 方程右边的表达式，称为带通信号s)的复数低通表达，基带信号) 称为s的等效低通信号或者复包络。注意，如果)是实的，也就是 说s)=0,则U(f)关于f=0共轭对称。 由傅立叶变换的性质，我们可以得到： Sf)=0.5Uf-f)+U'(-f-f] (A.3) 因为s)是实的，S)关于∫=0对称。然而，低通信号U)和U')不 必要关于∫-0对称，这导致S()在带宽2B的范围内，关于载频。不 对称。参加图A1。实际上，如果)=s,),也就是说，)中没有 正交分量，则在带宽范围内，$)关于载波对称。我们将很快发现这 种不对称影响了带通信道对带通信号的响应。 低通信号的另外一种表达方式： u)）=at)eko (A4) 包络为： a0）=S0+s6四 (A.5) 相位为： 0)=tan'吗 (A.6) s(t)=a(t)ee=a(t)cos(2+())(A.7) 现在考虑实信道冲击响应)，其付氏变换为H()。如果)是实 的，则H-)=HU。在通信系统中，我们主要关心在范围-<B 内的信道频率响应H(),H)的这些成分直接影响接收信号。带通 信道近似于带通信号：具有实冲击响应)，其频率响应H()中心频
2 ( ) { ( )}cos(2 ) { ( )}sin(2 ) { ( ) }c j f t c c st ut ft ut ft ute π = ℜ π π − ℑ = ℜ (A.2) 方程右边的表达式，称为带通信号 的复数低通表达，基带信号 称为 的等效低通信号或者复包络。注意，如果 是实的，也就是 说 ，则 关于 s t( ) u t( ) s t( ) u t( ) () 0 Qs t = U f ( ) f = 0共轭对称。 由傅立叶变换的性质，我们可以得到： * ( ) 0.5[ ( ) ( )] c Sf Uf f U f f = − + −− c (A.3) 因为 是实的， 关于 s t( ) S f ( ) f = 0对称。然而，低通信号 和 不 必要关于 对称，这导致 在带宽 U f ( ) * U f ( ) f = 0 S f ( ) 2B 的范围内，关于载频 cf 不 对称。参加图 A.1。实际上，如果 () () I ut s t = ，也就是说， 中没有 正交分量，则在带宽范围内， 关于载波对称。我们将很快发现这 种不对称影响了带通信道对带通信号的响应。 u t( ) S f ( ) 低通信号的另外一种表达方式： ( ) () () j t ut ate φ = (A.4) 包络为： 2 2 () () () I Q at s t s t = + (A.5) 相位为： 1 ( ) ( ) tan ( ) ( ) Q I s t t s t φ − = (A.6) ( ) 2 ( ) { ( ) } ( )cos(2 ( )) c j t j ft c st ate e at ft t φ π = ℜ = π φ + (A.7) 现在考虑实信道冲击响应h t( )，其付氏变换为H ( ) f 。如果 是实 的，则 。在通信系统中，我们主要关心在范围 h t( ) * H f Hf () ( − = ) c f − < f B 内的信道频率响应H ( ) f ， H ( ) f 的这些成分直接影响接收信号。带通 信道近似于带通信号：具有实冲击响应 ，其频率响应 h t( ) H( ) f 中心频
率为f,带宽带宽2B,2B<f,类似等效低通信号模型，我们建立 等效低通信道模型。 h0=2Rh,(0)e2y (A.8) 称h()为等效低通信道冲击响应。考虑(A2)(A.3),由表达式(A.8)可 以得到： H(f)=H,(f-f)+H(-f-f) (A.9) 于是H)由两个部分组成：H,)上移，和H)下移6。注意如果 在带宽2B的范围内H()关于f共轭对称，则h,()是实函数，并且H,() 关于零频率共轭对称。然而，在很多无线信道中，例如频率选择性衰 落信道，H)不是关于∫共轭对称的，这种情况下，h,()是复函数， 其同相分量A()=,},正交分量o)=5,}。注意如果，)是 复函数，则H,()关于零频率不共轭对称。 现在我们用等效低通信号和信道模型讨论具有带通信号输入的带 通信道的输出。令s)表示输入信号，其等效低通信号为)。令)为 带通信道冲击响应，h,)为其等效低通信道冲击响应。信号s)信道 冲击响应(0都是实函数。因而信道的输出r)=s)*(0)也是实函数， 其频域响应为R()=S(f)H)。R()为带通信号。于是，它有复函数 低通表达： r(t)=v(t)es (A.10) 考虑下述两者之间的关系：对应信道输入s)的等效低通信号、信 道冲击响应)和信道输出)。信道输出的频域表达为： Rf)=Sf)HU)=0.5H,f-f)+H(-f-f)o,(f-f)+U(-f-f(A.11)
率为 cf ，带宽带宽2B ，2B c << f ，类似等效低通信号模型，我们建立 等效低通信道模型。 2 () 2 { () }c j f t l ht h te π = ℜ (A.8) 称 为等效低通信道冲击响应。考虑(A.2)(A.3)，由表达式(A.8)可 以得到： ( ) l h t * () ( ) ( ) H l cl c f Hf f H f f = − + −− (A.9) 于是H ( ) f 由两个部分组成：H f l( )上移 cf ，和 * ( ) Hl f 下移 cf 。注意如果 在带宽2B 的范围内H( ) f 关于 cf 共轭对称，则 是实函数，并且 关于零频率共轭对称。然而，在很多无线信道中，例如频率选择性衰 落信道， ( ) l h t ( ) H f l H( ) f 不是关于 cf 共轭对称的，这种情况下， 是复函数， 其同相分量 ，正交分量 ( ) l h t , ( ) { ( )} l I l h t ht = ℜ , ( ) { ( )} l Q l h t ht = ℑ 。注意如果 是 复函数，则 关于零频率不共轭对称。 ( ) l h t ( ) H f l 现在我们用等效低通信号和信道模型讨论具有带通信号输入的带 通信道的输出。令 表示输入信号，其等效低通信号为 。令 为 带通信道冲击响应， 为其等效低通信道冲击响应。信号 信道 冲击响应 都是实函数。因而信道的输出 s t( ) u t( ) h t( ) ( ) l h t s t( ) h t( ) rt st ht ( ) ( )* ( ) = 也是实函数， 其频域响应为R() () () f SfHf = 。R( ) f 为带通信号。于是，它有复函数 低通表达： 2 () {() }c j ft rt vte π = ℜ (A.10) 考虑下述两者之间的关系：对应信道输入 的等效低通信号、信 道冲击响应 和信道输出 。信道输出的频域表达为： s t( ) h t( ) r t( ) * * ( ) ( ) ( ) 0.5[ ( ) ( )][ ( ) ( )] R l c l cl c l c f SfHf H f f H f f f f U f f = = − + −− − + − U − (A.11)
对应带通信号和信道，)和，)的带宽B远小于载频，于是有： H,(f-f)U'(-f-f)=0 和(-f-f)加f-)=0 因而： Rf)=0.5H,f-)加f-f)+Hi(-f-f)U'(-f-】 (A.12) 由(A.2)、(A3)、(A.10)有 R)=0.5Vf-f)+r(-f-f月 (A.13) 考虑(A.12)、(A.13),可以得到 Vf-)=H,f-)f-) (A.14) V(-f-)=H(-f-U'(-f-) (A.15) 或者 v(f)=H,(u(f) (A.16) 考虑付氏反变换可以得到： v(t)=u()*h,(t) (A.17) 这样，我们可以通过)和h,)的卷积得到接收信号)的等效低通信 号)。接收信号可以如下表示： r()=R{(u()*h,(t)e2P} (A.18) 需要注意V()=H,fU)共轭对称当且仅当H,)和U)均为共轭对 称。换句话说，如果)或者4)是复函数，则等效低通接收信号是 具有非零同相分量和正交分量的复函数。此外，如果)=s,)为实的 (无正交分量)，信道冲击响应，)=hu)+h,)是复函数（例如频 率选择性衰落的情况)，则
对应带通信号和信道，u t( )和 的带宽 ( ) l h t B 远小于载频 cf ，于是有： * ( )( ) H f fU f f lc c − −− = 0 0 )] 和 * ( )( ) H ff ff lc c −− − = U 因而： * * ( ) 0.5[ ( ) ( ) ( ) ( R l c cl c c f H f f f f H f fU f f = − − + −− −− U (A.12) 由(A.2)、(A.3)、(A.10)有 * ( ) 0.5[ ( ) ( )] R c c f Vf f V f f = − + −− (A.13) 考虑(A.12)、(A.13)，可以得到 ( ) ( )( Vf f H f f f f −= − − cl c U )c )c (A.14) * ** ( ) ( )( V f f H f fU f f −− = −− −− cl c (A.15) 或者 ( ) ( )( ) Vf H f f = l U (A.16) 考虑付氏反变换可以得到： ( ) ( )* ( ) l vt ut h t = (A.17) 这样，我们可以通过 和 的卷积得到接收信号 的等效低通信 号 。接收信号可以如下表示： u t( ) ( ) l h t r t( ) v t( ) 2 ( ) {( ( )* ( )) }c j f t l rt ut h t e π = ℜ (A.18) 需要注意 () ()() V f H fU f = l 共轭对称当且仅当 和 均为共轭对 称。换句话说，如果 或者 是复函数，则等效低通接收信号是 具有非零同相分量和正交分量的复函数。此外，如果 为实的 （无正交分量），信道冲击响应 ( ) H f l U f ( ) u t( ) ( ) l h t () () I ut s t = , , () () () l lI lQ h t h t jh t = + 是复函数（例如频 率选择性衰落的情况），则
r(0=s,(0*(h)+jho(0)=s,(0*hu()+js,()*ho)(A.19) 为复函数，于是接收信号会有同相分量和正交分量。更普遍的情况， 如果u)=s,)+jso0,且h)=h)+jho),则 vt)=[s,)+jso]*[hu()+jho(0]=[s,0)*h)-s20*he0+s,)*e0+s2)*h】] (A.20) 因而，)的同相分量依赖于)的同相分量和正交分量两者。)的 正交分量也是如此。这个情况导致信号检测的问题，因为它引起调制 好的信号的同相分量和正交分量在解调时互相干涉。 等效低通表达的主要目的是，使用发送信号、信道冲击响应和接 收信号的等效低通模型分析带通通信系统。这个方法，去除了分析中 的载波因素
, , , ( ) ( )*( ( ) ( )) ( )* ( ) ( )* ( ) I lI lQ I lI I lQ v t s t h t jh t s t h t js t h t = += + (A.19) 为复函数，于是接收信号会有同相分量和正交分量。更普遍的情况， 如果u t s t js t () () () = + I Q ，且 , , () () () l lI lQ h t h t jh t = + ，则 , , , , , , ( ) [ ( ) ( )]*[ ( ) ( )] [ ( )* ( ) ( )* ( )] [ ( )* ( ) ( )* ( )] I Q lI lQ I lI Q lQ I lQ Q lI v t s t js t h t jh t s t h t s t h t j s t h t s t h t =+ + = − + + (A.20) 因而， 的同相分量依赖于 的同相分量和正交分量两者。 的 正交分量也是如此。这个情况导致信号检测的问题，因为它引起调制 好的信号的同相分量和正交分量在解调时互相干涉。 v t( ) u t( ) v t( ) 等效低通表达的主要目的是，使用发送信号、信道冲击响应和接 收信号的等效低通模型分析带通通信系统。这个方法，去除了分析中 的载波因素