Vol,27 No.5 张延新等：三维初始地应力场计算方法与工程应用 ·521· F 0g+X=0 Ox dy Y0 7(a+o,)=0 (5) 同时在边界上满足应力边界条件： (a,+m(c),=r (6) m(a,),+(x),=T 式中，X,Y为体力分量；XY为在边界上作用的面 力分量：4，m为边界法向的方向余弦.平衡微分 方程（④）是一个非齐次微分方程组，它的解包含 F 两个部分，即任一个特解和齐次傲分方程组通解 图2构造应力计算模型 Fig.2 Model for calculation of tectonic stress 的叠加.特解可取为： a,=Xx,a,=Yy,to=0 (7) 2地应力场分析 齐次微分方程组的通解，由应力函数(xy)给出： 020 020 do ,,,。x (8) 测量钻孔地应力仅适合于钻孔周围岩体，而 将通解（⑧）与特解(7)叠加，得微分方程(4)的全解： 分析所获得的地应力场则适合于较大的工程区 p 域.通过计算可获得纵向剖面、水平剖面上的各 器2器， (9) 应力分量，主应力的等值线和三维应力场分布 应力分量式也必须满足相容方程，代入式（⑤） 图，从而对工程区域的地应力场的变化规律有一 即得双调和方程： 个比较全面的认识.为了简单起见，首先单独对 7(x,y=0 (10) 构成地应力场的两个主要部分，即自重应力场和 因此，弹性平面问题归结为寻求满足应力边 地质构造应力场分别进行分析· 界条件的双调和函数p(xy). 21自重应力场的分析 由于双调和方程是偏微分方程，它的通解不 由于地心对岩体的引力，使地壳岩体始终处 能写成有限项数形式，不能直接求解，只能采用 于自重应力场之中，岩体自重应力可以通过计算 逆解法或半逆解法求解. 获得，计算的理论是建立在岩体为均匀连续的弹 根据上述的构造应力特点，结合弹性力学的 性介质假定基础之上的. 理论，设o,,为坐标的二次函数，则应力函数 假定岩体简化为均质半无限弹性体，忽略地 xy)为坐标的四次函数，即 质构造和地形变化对地应力的影响，则在地表以 p(xy)-ax+axy+ay+axray+acxy+ay+ 下埋深为z的点，其铅垂应力为： ax'+axy+aox'y+anxy+auy (11) 0,=yz (1) 式中，a(1~12)为坐标系数.应力函数(xy)必须 水平应力为： 满足双调和方程(10)，因此 0=0,=1c=z (2) 1 a2=-a-3a10 (12) 式中，y为岩体的平均容重，1为侧压系数.可见， 根据式(11)，导出其应力分量为： 自重应力的各个分量可由下式统一表示： a,a%2-=2a,+2ar+6ay-12ay4 Gz duZ (3) òy2 2.2地质构造应力场的分析 2ao(x2-2y）+6a3y+X 为简单起见，采用弹性平面问题的应力函数 a-8()-2a+6ax+2ay+I2ax+ (13) 形式，由于所应用的理论要求符合弹性介质假 6axy+2a+Yy 设，虽然在应用上有一定局限性，但对特定的较 d'o(xy) 小范围（无断层和地质构造），这种分析方法是适 to-0x0y --a:-2asx-2ay-3ax'- 用的.在弹性平面问题中，对于常体力的情况，求 4anoxy-3auy 解应力边界问题时，应力分量a,C,t应当满足 由于岩体在xy方向的体力分量XY为0，因此 平衡微分方程和相容方程： 上式构造应力的各个分量，类似自重应力分量的￾心】 一￾￾￾￾ ￾ ￾ 张 延 新 等 ￾ 三维 初 始地应 力场 计 算方 法 与工 程 应用 ￾￾￾ 铲￾氏十动￾￾ 同时在边 界 上 满足 应 力边 界 条件 ￾ ￾￾￾ ￾氏无￾￾动 ，二了 ￾￾坏￾ 刁十找喝￾户了 ￾￾￾ 图 ￾ 构 造 应 力计￾模型 ￾￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ ￾ 加￾￾叨￾￾ ￾￾￾￾， ￾ 地 应 力场 分 析 测量 钻 孔 地 应 力 仅适 合 于 钻 孔 周 围岩 体 ， 而 分 析 所 获 得 的地 应 力 场 则 适 合 于 较 大 的工 程 区 域 ￾ 通 过 计 算可 获 得 纵 向剖面 、 水 平 剖 面 上 的各 应 力 分量 ， 主 应 力 的等 值 线 和 三 维 应 力场 分 布 图 ， 从 而对 工程 区 域 的地应 力场 的变化 规 律有 一 个 比较 全 面 的认 识 ￾ 为 了简单起 见 ， 首 先 单 独 对 构成 地应 力场 的两 个 主 要 部 分 ， 即 自重应 力场 和 地 质 构 造 应 力场 分 别 进 行 分 析 ￾ ￾￾ 自重 应 力场 的分 析 由于地 心 对 岩 体 的引力 ， 使地 壳 岩 体始 终 处 于 自重应 力 场之 中 ￾ 岩 体 自重应 力 可 以通过 计 算 获得 ￾ 计 算 的理论 是建 立 在岩 体 为均匀连 续 的弹 性 介质 假 定 基 础 之 上 的 ￾ 假 定 岩 体 简化 为均 质 半 无 限弹 性 体 ， 忽 略地 质 构造 和 地 形 变 化对 地 应 力 的影 响 ， 则在地表 以 下 埋 深 为 ￾ 的 点 ， 其 铅 垂 应 力 为 ￾ 厂羚 ￾￾￾ 水 平 应 力 为 ￾ 氏二巧以氏以声 ￾￾ 式 中 ， 尹为岩 体 的平 均 容重 ， 又为侧 压 系 数 ￾ 可 见 ， 自重 应 力 的各 个 分 量 可 由下 式 统 一表 示 ￾ 几尸口山 ￾ ￾￾￾ ￾￾ 地 质构 造 应 力场 的分 析 为简 单起 见 ， 采 用 弹 性 平 面 问题 的应 力 函 数 形 式 ￾ 由于 所 应 用 的理 论 要 求 符 合 弹 性 介 质 假 设 ， 虽 然 在 应 用 上 有 一 定 局 限性 ， 但 对 特 定 的较 小范 围￾无 断层 和 地 质 构造 ￾ ， 这种 分析 方 法 是 适 用 的 ￾ 在弹性平 面 问题 中 ， 对 于 常 体 力 的情况 ， 求 解应 力边 界 问题 时 ， 应 力分 量氏 ， “ 应 当满足 平 衡 微 分 方 程 和 相 容 方 程。，￾ 式 中 ，￾， ￾为体 力分 量 ￾又了 为在 边 界 上作 用 的面 力 分 量 ￾ ￾，￾ 为 边 界 法 向的方 向余 弦 ￾ 平 衡微 分 方 程 ￾￾是 一 个 非 齐 次微 分 方 程 组 ， 它 的解 包 含 两个 部 分 ， 即任 一个特解 和 齐 次微 分方 程 组通解 的叠 加 ￾ 特 解 可 取 为 ￾ 氏月众 ， 巧￾ 珍 ， 几声￾ ￾￾￾ 齐 次微 分 方 程 组 的通 解 ， 由应 力 函数尹￾砂给 出 ￾ ￾ ￾ 沙沪 ￾ ￾ 沙￾ ￾ ￾ 护沪 ￾￾￾直开四厂百矛 ， ‘犷￾百又孙 、￾， 将通解 ￾ 与特解 ￾ 叠加 ， 得微 分方程￾￾的全解 ￾ 盯韶撇￾令￾， 、 一恶 ‘￾ 应 力分 量 式也 必 须满 足 相容方程 ， 代 入式￾ 即得 双 调 和 方 程 ￾ 甲 ￾尹￾少￾￾￾ ￾￾￾￾ 因此 ， 弹 性 平 面 问题 归 结 为寻 求 满 足应 力边 界 条件 的双 调 和 函数￾￾必 ￾ 由于 双调 和方 程 是偏 微分 方 程 ， 它 的通解 不 能写 成 有 限项 数形 式 ， 不 能直接求解 ， 只 能采 用 逆 解 法 或 半逆 解 法求 解 ￾ 根据 上 述 的构造 应 力特 点 ， 结 合 弹性 力学 的 理 论 ， 设氏 ， “为坐 标 的二 次 函 数 ， 则 应 力 函数 势￾必 为 坐 标 的 四次 函 数 ， 即 ￾￾必￾￾ 矿十口润叶口犷切淤￾矿对￾试犷￾￾夕十 ￾矿切斌对 ￾，礴沙 ￾￾￾，￾护￾ ￾了 ￾￾￾￾ 式 中 ， ￾，扮￾一 ￾￾为坐 标 系数 ￾ 应 力 函数￾￾必必 须 满足 双 调 和 方 程 ￾￾￾ ， 因此 ￾ ￾￾￾二 一场一 百公 ￾“ ￾￾￾￾ 根据 式￾￾￾ ， 导 出其 应 力 分 量 为 ￾ 厂湘黔 ￾￾￾研、 一 ‘’。 ￾￾ ￾。份一 对￾￾￾￾￾￾朴电仓 犷粤黔 ￾￾￾￾￾￾‘ ，矿 ”京 ￾ ￾￾邺汁￾￾ ，扩￾珍 、 一嘿淤 之 一￾一￾ 一 ￾ 一 ￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾ ￾刃一￾￾￾了 由于岩 体 在￾少方 向的体 力分量戈￾为 ￾ ， 因此 上 式 构造 应 力 的各 个分量 ， 类似 自重 应 力分量 的