定理:n阶矩阵与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。 推论:若A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似;但反之不对。 矩阵能否与对角阵相似,取决于矩阵能否有n个线性无 关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异,则矩阵能与对角阵相似,问题已经解 决;若矩阵A有重特征值,则不能马上断言。这时要看特征向量了。 实际上,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。 设为k重特征值,只要r(4-E)=n-k,则 A-E)X=O就有k个线性无关的解向量,即4有k个线 性无关的特征向量。综上,有: 定理2:设A的相异特征值为A,A2 ,…,m其重数分别为 ;,1∴…、下,n: 1251m,2 =n,则A~A分r(A-,E)=n-r定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。 推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。 思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无 关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解 决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。 实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。 性无关的特征向量。 就有 个线性无关的解向量， 有即 个线 为设 重特征值，只要 则 kOXEA kA k knEAr =− −=− )( ,)( λ λ λ 综上，有： i i m i im ∑ = −=−⇔Λ rnEArAnrrrr = )(~,,,,, 1 21 L 则 λ 定理2：设 , A的相异特征值为λ λ21 L，，， λm 其重数分别为