《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 C.(a>0a 7.fcosaxd=snm+C,a≠0： a &jm本=-言osam+C,a学0： 9.「sec2xdk=tanx+C; 10.[csc2xdx=-cotx+C: 11.[secx.tanxdx=secx+C: 12.[cscx-cotxdx=-cscx+C: 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结 为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分 定理3若函数fx)与g(x)在区间1上都存在原函数，k,k为两个任意常数，则 kfx)+k,g(x)也存在原函数，且 「k,f(x)+kg(x)=k「fx)k+k「g(x)(积分 的线性性质)。 证明：可由微分法直接验证，因为 [∫)本+()了-[∫)本+了+[()本]_k+k因) 即 [kf(x)+k5(x)]五=k∫(x+k∫5(x达 如果在式(5)中取长=k6=0,f()=f)则有如下结论。 论： ∫材(x=kf(x 上式说明被积函数的常数因子可以提到积分号的前面。 由定义即得。《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 6. C a a a dx x x = +  ln ， (a  0,a  1) ； 7. ax C a axdx = +  sin 1 cos ，(a  0) ； 8. ax C a axdx = − +  cos 1 sin ，(a  0) ； 9.  sec xdx = tan x + C 2 ； 10.  csc xdx = −cot x + C 2 ； 11.  sec x  tan xdx = sec x + C ； 12.  csc x  cot xdx = −csc x + C ； 13. 1 2 arcsin arccos 1 x C x C x dx + = − + −  ； 14. 2 1 arctan cot 1 x C arc x C x dx = + = − + +  。 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结 为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。 定理 3 若函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上都存在原函数， 1 2 k ,k 为两个任意常数，则 ( ) ( ) 1 2 k f x + k g x 也存在原函数，且    [k f (x) + k g(x)]dx = k f (x)dx + k g(x)dx 1 2 1 2 （积分 的线性性质）。 证明：可由微分法直接验证，因为 k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )          + = + +           = k f x k f x 1 1 2 2 ( ) + ( ) 即   k f x k f x dx k f x dx k f x dx 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) + = + ( ) ( ) ( )      如果在式（5）中取 k k k f x f x 1 2 1 = = = , 0, , ( ) ( ) 则有如下结论。 推 论： kf x dx k f x dx ( ) = ( )   上式说明被积函数的常数因子可以提到积分号的前面。 由定义即得