2、 Boltzmann方程 若分布函数不受外电场影响,电流为零 出发点:散射对电子分布的影响 考虑能带结构和电子的分布函数,电导应为 分布函数F时刻,在第n能带中,在(r,k)相空间 附近单位体积内电子数 已经假定系统可以用单粒子Bch回数定态描写 如果分布函数/不受外电场的影响,即仍是平衡态 分布,后,那么由能带的反演对称性,即 热平衡状态下,体系均匀,分布与r无关,电于系 E(k=E(-k,可得,f(k=f(k,D 统的分布是Ferm份布 此外,由速度与能带关系,可得速度是关于k是反 对称的,即v(k)=V(k),因此,如果分布函数不 受外电场影响,电流为零 ay小wMA=0 种p∥45.2413che國体学 种中4524132 非平衡分布函数 非平衡分布函数满足的关系 显然对子非平衡分布, ·偏高平衡态时,非平衡分布函数∫随空间位置r f(k,T)≠f(+k,r) 和时间t的变化而变化 ·不再是k的对称函敷,如果假定外电场不影响能带 如果不考虑碰撞,则 结构,则速度k的关系不变,仍是,v(k=v(-k) f(r, k,i)=f(r-idi, k-kdt, t-dt) 3.2)vk)/k2≠0 ·即t时刻(r,k)处的电子来自前一1d时, 电于在外场下偏高平衡态,这时即使撒高电场, ·如考虑碰,则加上一项碰撞项,即在其他地 也不会自动恢复平衡 经碰撞后到(r,k)处 散射→平衡态:电子受到散射,使电子失去外电 场中获得的定向适动,重新获得平衡 f(r,k,)=f(r-id, k-kdu, l-dr)+ hrp的a45.2432/che 是学 趣452413 binche体嚼理学 ·前式展开,只保留对t一次导敷项,得 近看Bolt 方程 g+.yk.92(9 tk ak( ar 对稳态,第一项为零,得 ·而稳定电流时,ddr为零;而 .9+k.9(9 a(k)Fal ·这就是 Boltzmann方程 即电子波夫的时间变化率与外场和能带结构有关 左边是派移项,即两次碰之间的动力学规律所确 L用半经典的理论框架来处理本质 多粒子问题,虽有局限,但还是 右边是碰撞项,即使系统从非平衡趋于平衡,是不 半导体中的输运问题 ·解 Boltzmann方程的困难在于碰撞项 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 2、Boltzmann方程 • 出发点：散射对电子分布的影响 Æ分布函数满足的Boltzmann方程 • 分布函数f：t时刻，在第n能带中，在 (r,k)相空间 附近单位体积内电子数 * 已经假定系统可以用单粒子Bloch函数定态描写 • 热平衡状态下，体系均匀，分布与r无关，电子系 统的分布是Fermi分布 [ ] ( ) ( ) ( ) 1 1 0 + = E −EF kBT e f E k / k http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 若分布函数f不受外电场影响，电流为零 • 考虑能带结构和电子的分布函数，电导应为 ( ) ()() ∫ = − 3 3 2 2 J v k f k dk e e π ( ) () () 0 2 2 3 = − 3 0 ≡ ∫ J v k f k dk e e π • 如果分布函数f不受外电场的影响，即仍是平衡态 分布，f0，那么由能带的反演对称性，即 * E(k)=E(-k)，可得， f0(k, T)= f0(-k, T) • 此外，由速度与能带关系，可得速度是关于k是反 对称的，即v(k)=-v(-k)，因此，如果分布函数f0不 受外电场影响，电流为零 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 非平衡分布函数 • 显然对于非平衡分布， f (k,T ) ≠ f (− k,T ) ( ) ()() 0 2 2 3 3 = − ≠ ∫ J v k f k dk e e π • 不再是k的对称函数，如果假定外电场不影响能带 结构，则速度k的关系不变，仍是， v(k)=-v(-k)， 则 • 电子在外场下偏离平衡态，这时即使撤离电场， 也不会自动恢复平衡 • 散射Æ平衡态：电子受到散射，使电子失去外电 场中获得的定向运动，重新获得平衡 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 非平衡分布函数满足的关系 • 偏离平衡态时，非平衡分布函数 f 随空间位置r 和时间 t 的变化而变化 f (r,k,t) = f (r − rdt,k −kdt,t − dt) & & • 即 t 时刻(r,k) 处的电子来自前一 t-dt 时刻，… • 如考虑碰撞，则加上一项碰撞项，即在其他地 方经碰撞后到(r,k)处 ( ) ( ) dt t f f t f dt dt t dt 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r,k, = r − r& ,k −k& , − + • 如果不考虑碰撞，则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ t f f f t f k k r r & & 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & • 前式展开，只保留对 t 一次导数项，得 • 对稳态，第一项为零，得 • 这就是Boltzmann方程 * 左边是漂移项，即两次碰撞之间的动力学规律所确 定的，是可逆的 * 右边是碰撞项，即使系统从非平衡趋于平衡，是不 可逆的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 近看Boltzmann方程 • 即电子波矢的时间变化率与外场和能带结构有关 • 评论：实际上是用半经典的理论框架来处理本质 上是量子力学的多粒子问题，虽有局限，但还是 有效的，比如在半导体中的输运问题 • 解Boltzmann方程的困难在于碰撞项 碰撞 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ ⋅ t f f f k k r r & & ( ) ( ) ( ) k E k k F k k k k ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂f f e f h h & • 而稳定电流时，df/dr为零；而