9.设函数∫,g在[a,b]上连续,且g(x)≠0。证明:存在5∈(a,b),使得 f∫(x)dhx &(x)dx 8(5) 10.设函数f在[O,上具有二阶连续导数,且f(O)=f(1)=0。证明: (1)f(x)h x(x-Df(x)dx 2 (2)f(x)dr≤max|∫(x)l 12 11.设函数∫在[O,1]上二阶导数连续,且f(O)=f()=0,证明存在x∈(0,1), 使得 ∫/(xk=)+/①+f(x) 6 12.设函数∫在0,上连续,证明:lm[ sin nxI(xt=2 「。f(x)dx。 设函数∫在[a,b上二阶可导,∫(x)≠0,f(a)=f(b)=0,且有x0∈(a,b), 使y=f(x0)>0,f(x0)=0。证明 (1)存在x∈(ax)和x2∈(x,b),使得∫(x)=f(x2)=20 (2)f(x)dx< yo(x2-x1) §4定积分的应用 1.求抛物线y=x2与直线y=2x+3所围图形的面积 2.求由曲线y=x2,y=x2和直线y=1所围图形的面积。 3.求旋轮线x=a(-sin1),y=a(1-cos)(a>0,0≤t≤2n)与x轴所围图 形的面积 4.求r=2cosb与r=2snb所围公共部分图形的面积。 5.求r=1+cos与r=3cos所围公共部分图形的面积。 6.求由圆盘(x-2)2+(y-3)2≤1分别绕x轴和y轴旋转一周,所得旋转体的体 积 7.求旋轮线x=a(-sin1),y=a(1-cos1)(a>0,0≤t≤2n)与x轴所围图 形绕x轴旋转所成旋转体的体积 8.求r=1+cosθ所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。 9.求抛物线y2=4ax(a>0)与过焦点的弦所围图形的面积的最小值,并求出这 时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 10.求下列曲线段的弧长9．设函数 f ， g 在 [a, b] 上连续，且 g(x)  0 。证明：存在  (a, b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )   g f g x dx f x dx b a b a    。 10．设函数 f 在 [0, 1] 上具有二阶连续导数，且 f (0)  f (1)  0 。证明： （1）      1 0 1 0 ( 1) ( ) 2 1 f (x)dx x x f x dx ； （2） max | ( ) | 12 1 ( ) 0 1 1 0 f x dx f x x      。 11．设函数 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续，且 f (0)  f (1)  0，证明存在 (0,1) x0  ， 使得      1 0 0 6 ( ) 2 (0) (1) ( ) f f f x f x dx 。 12．设函数 f 在 [0, ] 上连续，证明：       0  0 ( ) 2 lim |sin nx | f (x)dx f x dx x 。 13. 设函数 f 在 [a, b] 上二阶可导， f (x)  0， f (a)  f (b)  0 ，且有 ( , ) x0  a b ， 使 y0  f (x0 )  0 ， f (x0 )  0 。证明： （1）存在 ( , ) 1 0 x  a x 和 ( , ) x2  x0 b ，使得 2 ( ) ( ) 0 1 2 y f x  f x  ； （2）    b a f (x)dx y (x x ) 0 2 1 。 §4 定积分的应用 1．求抛物线 2 y  x 与直线 y  2x  3 所围图形的面积。 2．求由曲线 2 y  x ， 2 4 1 y  x 和直线 y = 1 所围图形的面积。 3．求旋轮线 x  a(t sint)， y  a(1 cost) （ a  0 ，0  t  2 ）与 x 轴所围图 形的面积。 4．求 r  2cos 与 r  2sin 所围公共部分图形的面积。 5. 求 r 1 cos 与 r  3cos 所围公共部分图形的面积。 6．求由圆盘 ( 2) ( 3) 1 2 2 x   y   分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周，所得旋转体的体 积。 7. 求旋轮线 x  a(t sint) ， y  a(1 cost) （ a  0 ，0  t  2π ）与 x 轴所围图 形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积。 8．求 r 1 cos 所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。 9．求抛物线 4 ( 0) 2 y  ax a  与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这 时的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 10．求下列曲线段的弧长：